动态规划：0-1背包问题 （C++）

动态规划：0-1背包问题

动态规划的一般步骤：

1. 问题结构分析
2. 递推关系建立
3. 自底向上计算
4. 最优方案追踪

例题 0-1背包问题

(题目来源：https://www.acwing.com/problem/content/description/2/）

题目描述
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 v_i，价值是 w_i。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 v_i,w_i，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例
8

问题分析
在背包体积一定的情况下，找出总价值最高值，每一个物品只有选和不选两种情况，比较两种情况的总价值。

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f[i][j] 表示只看前i个物品。总体积是j的情况下 ，总价值最大是多少。
result = max{f[n][0~V]}

f[i][j]:
1.不选第i个物品，f[i][j] = f[i-1][j];
2.选第i个物品，f[i][j] = f[i-1][j-v[i];

在两种情况中选择最大最：f[i][j] = max{1,2}

初始化： f[0][0] = 0;

代码1

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n,m;	//n表示物体个数，m表示背包容量 
int f[N][N]; 
int v[N], w[N]	//v[N], w[N] 分别表示每个物品的体积和价值 

int main(){
    
    
	cin >> n >> m;
	for(int i=0; i<n; i++){
    
    
		cin >> v[i] >> w[i];
	}
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=1; j<=m; j++){
    
    
			f[i][j] = f[i-1][j];
			if(j >= v[i])
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i]);
		} 
		
	int res = 0;
	for(int i=0; i<=m; i++)
		res = max(res,f[n][i]);
		
	cout << res << endl;
	return 0;
} 

在二维数组f[N][N]的基础上优化，将二维数组f[N][N]优化为f[N]，表示表示背包体积为j时前i个物品的最大价值为多少 ；每进行一次外循环，f[m] 都要更新一次；

代码2

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n,m;	//n表示物体个数，m表示背包容量 
int f[N]; 	//表示背包体积为j时前i个物品的最大价值为多少 
int v[N], w[N]	//v[N], w[N] 分别表示每个物品的体积和价值 

int main(){
    
    
	cin >> n >> m;
	for(int i=0; i<n; i++){
    
    
		cin >> v[i] >> w[i];
	}
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=m; j>=v[i]; j--){
    
    
			f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);		//f[j]滚动记录最优解 
		} 
		
	cout << f[m] << endl;	
	return 0;
}