非线性方程求根
一、二分法
- 有根区间为[a,b]，注意a0，b0的选取。
- 误差估计及求需要迭代的次数。
- 常考解题思路：已知误差，求迭代次数；已知迭代次数，求绝对误差限及最终的根的值
二、简单迭代法（逐次逼近法）
- 一般格式：迭代函数，迭代格式
- 收敛条件：φ(x)在区间[a,b]上可导，且满足下列两个条件。（经常用于证明迭代格式收敛）
- 误差估计
- 收敛阶：p阶收敛证明方法一般为以下两种：
- Aitken加速法
Nw
- 常考解题思路：构建迭代方程、写成迭代格式、证明迭代格式收敛、求收敛阶
三、Newton 迭代法
- 迭代格式：根据f(x)在x0处的一阶Taylor展开得到
- 平方收敛（会证明）
- 收敛的注意事项
（1）局部收敛
（2）对初值选取比较严格
四、Newton 迭代法的变形
- 简化Newton迭代法
- 割线法：1.618阶收敛
- 带参数的Newton迭代法
- 直接求方程重根的Newton迭代法
五、常考题型及解题思路总结
- 说明方程在某区间上有唯一根。
- 求方程导数，证明单调性，根据零点定理，一定存在唯一根
- 证明迭代格式收敛
- 根据函数收敛的两条性质，即函数值域、导数范围证明迭代格式收敛
- 求收敛的迭代格式的收敛阶
- 根据判断收敛阶的两个方法：p阶导数不为零、构建p阶无穷小等式
- 限制绝对误差限，求迭代次数
- 根据每种方法的误差估计式进行求解
- 求解重根方程的根
- 根据两种求根方法进行求解。一种是给定重根数、一种是求二阶导，不受重根数的影响