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G G G是阿贝尔群， H H H和 N N N是 G G G的子群。请证明 H N = { h n : h ∈ H ， n ∈ N } HN = \{hn: h\in H ，n\in N\} HN={ hn:h∈H，n∈N}是群 G G G的子群。如果群 G G G不是阿贝尔群，结论是否依然成立。
存在单位元：因为 H H H和 N N N都是 G G G的子群，所以 H H H和 N N N都有单位元 e e e， e e = e ee=e ee=e，因为 h n e = e h n = h n hne = ehn = hn hne=ehn=hn，所以 e e e是 H N HN HN的子群。
满足封闭性：假设有 h 1 , h 2 ∈ H , n 1 , n 2 ∈ N h_1,h_2 \in H, n_1,n_2\in N h1,h2∈H,n1,n2∈N， h 1 n 1 h 2 n 2 = h 1 h 2 n 1 n 2 h_1n_1h_2n_2 = h_1h_2n_1n_2 h1n1h2n2=h1h2n1n2，因为 h 1 h 2 ∈ H , n 1 n 2 ∈ N h_1h_2 \in H, n_1n_2\in N h1h2∈H,n1n2∈N，所以 h 1 h 2 n 1 n 2 ∈ N H h_1h_2n_1n_2\in NH h1h2n1n2∈NH。
存在逆元：假设 h ∈ H , n ∈ N h\in H, n\in N h∈H,n∈N，因为 H H H和 N N N都是子群，所以存在 h − 1 ∈ H , n − 1 ∈ N h^{-1}\in H ,n^{-1}\in N h−1∈H,n−1∈N，所以 h n , h − 1 n − 1 ∈ H N hn, h^{-1}n^{-1}\in HN hn,h−1n−1∈HN，因为 h n h − 1 n − 1 = h h − 1 n n − 1 = e hnh^{-1}n^{-1}=hh^{-1}nn^{-1}=e hnh−1n−1=hh−1nn−1=e，所以存在逆元。
不是阿贝尔群应该不行吧。。
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H H H是群 G G G的子群（不必然是正规子群）， N N N是群 G G G的正规子群，则 H N HN HN是群 G G G的子群， H ∩ N H\cap N H∩N是 H H H的正规子群，且 H / ( H ∩ N ) ≅ H N / N H/(H\cap N)\cong HN/N H/(H∩N)≅HN/N。
1。先证 H N HN HN的是群。设 h n , h ′ n ′ hn,h'n' hn,h′n′是 H N HN HN的两个元素 h n h ′ n ′ = h h ′ ( h ′ − 1 n h ′ ) n ′ hnh'n' = hh'(h'^{-1}nh')n' hnh′n′=hh′(h′−1nh′)n′，因为 h h ′ ∈ H hh'\in H hh′∈H，因为 N N N是正规子群，所以 h ′ − 1 n h ′ ∈ N h'^{-1}nh'\in N h′−1nh′∈N，且 n ′ ∈ N n'\in N n′∈N，故 h n h ′ n ′ ∈ H N hnh'n'\in HN hnh′n′∈HN，故满足封闭性。显然存在单位元。 ∀ h ， n 是 H ， N \forall h，n 是H，N ∀h，n是H，N的元素，因为 H H H和 N N N都是子群，所以存在 h − 1 ∈ H , n − 1 ∈ N h^{-1}\in H ,n^{-1}\in N h−1∈H,n−1∈N，有因为 N N N是正规子群，那么 h n − 1 h − 1 ∈ N hn^{-1}h^{-1}\in N hn−1h−1∈N，所以有 h n ∈ H N , h − 1 h n − 1 h − 1 hn\in HN,h^{-1}hn^{-1}h^{-1} hn∈HN,h−1hn−1h−1，因为 h n h − 1 h n − 1 h − 1 = e = h − 1 h n − 1 h − 1 h n hnh^{-1}hn^{-1}h^{-1} = e = h^{-1}hn^{-1}h^{-1}hn hnh−1hn−1h−1=e=h−1hn−1h−1hn，所以 H N HN HN存在逆元。
2。再证 N N N是 H N HN HN的一个正规子群，因为 N ⊂ H N ⊂ G N\subset HN\subset G N⊂HN⊂G，所以 N N N也是 H N HN HN的一个正规子群
3。构造从 H → H N / N H\rightarrow HN/N H→HN/N的同态映射 ϕ : h → h N \phi:h\rightarrow h\N ϕ:h→hN。因为 ϕ ( h 1 h 2 ) = h 1 h 2 N = h 1 h 2 N N = \phi(h1h2)=h1h2 \N=h1h2\N\N= ϕ(h1h2)=h1h2N=h1h2NN= h 1 N h 2 N = ϕ ( h 1 ) ϕ ( h 2 ) h1\N h2\N=\phi(h1)\phi(h2) h1Nh2N=ϕ(h1)ϕ(h2)。因为 h N h\N hN的单位元是 N N N，且 ∀ n ∈ N , n N = N \forall n \in N, nN=N ∀n∈N,nN=N，所以 ϕ − 1 ( N ) = N \phi^{-1}(N)=N ϕ−1(N)=N，但是 ϕ \phi ϕ的定义域为 H H H，所以 K e r ϕ = N ∩ H Ker\phi=N\cap H Kerϕ=N∩H，所以 N ∩ H N\cap H N∩H是 H H H的正规子群，由第一同构定理有 G / K ≅ ϕ ( G ) G/K\cong\phi(G) G/K≅ϕ(G)，这里 G = H , ϕ ( G ) = H N / N , K = N ∩ H G=H,\phi(G)=HN/N, K=N\cap H G=H,ϕ(G)=HN/N,K=N∩H，所以 H / ( H ∩ N ) ≅ H N / N H/(H\cap N)\cong HN/N H/(H∩N)≅HN/N，得证。
4。总体得思路是先构建 H H H到 H N / N HN/N HN/N的一个同态再找Kernel。
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