谱分析——连续傅里叶变换

傅里叶变换(连续谱)

[!] 以下笔记内容可能会出现部分错误的地方，恳请各位师生批评指正，谢谢！

部分内容摘录自Wiki

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主要内容

• 连续傅里叶变换
• 连续傅里叶变换的性质

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连续傅里叶变换

傅里叶变换源自对傅里叶技术的研究。在对傅里叶级数的研究中，复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦、余弦波之和表示。傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展，由它表示的周期函数趋近于无穷。（即非周期函数）

1 推导

• 在之前提到过，对于一个周期为 $T$ 的周期函数 $f_T(t)$ ，假若它满足狄利克雷条件，那么它就可以展开为傅里叶级数$$f_T(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{in\omega t},c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(\tau )e^{-in\omega \tau }d\tau \text{\hspace{1em}(1-1-1)}$$其中$\omega =\frac{2\pi }{T}$。
• 对于一般的非周期函数，我们可以认为它的周期为无穷大，即 $T\to \infty$，此时将会有 $\omega \to 0$，此时的频谱将会非常的稠密。即$$\Delta \omega =(n+1)\omega -n\omega =\omega =\frac{2\pi }{T}\to 0$$
• 将(1-1)式进行化简，有
  $$\begin{gathered} f_T(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }[\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(\tau )e^{-in\omega \tau }d\tau ]e^{in\omega t} \\ =\sum _{n=-\infty }^{\infty }[\frac{\Delta \omega }{2\pi }{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(\tau )e^{-in\omega \tau }d\tau ]e^{in\omega t} \\ =\frac{1}{2\pi }\sum _{n=-\infty }^{\infty }[{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(\tau )e^{-in\omega \tau }d\tau ]e^{in\omega t}\Delta \omega \end{gathered}$$令$$F_T(n\omega )={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(\tau )e^{-in\omega \tau }d\tau$$即有$$f_T(t)=\frac{1}{2\pi }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_T(n\omega )e^{in\omega t}\Delta \omega \text{\hspace{1em}(1-1-2)}$$显然，(1-2)满足定积分的定义式¹$$f(x)=\sum _{i=1}^{n}f(t_i)\Delta x$$
• 令${\omega }_n=n\omega$，当积分$${\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega$$存在时，有$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega \text{\hspace{1em}(1-1-3)}$$
• 同理，当积分$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )e^{-i\omega \tau }d\tau$$存在时,有$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )e^{-i\omega \tau }d\tau \text{\hspace{1em}(1-1-4)}$$

2 定理

• 若 $f(t)$ 在无限区间 $(-\infty ,+\infty )$上有：
  $$\begin{gathered} (1)在任一个有限区间上f(t)满足狄利克雷条件； \\ (2)在无穷区间上绝对可积，即{\int }_{-\infty }^{+\infty }|f(t)|dt存在; \end{gathered}$$则有$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega \text{\hspace{1em}(1-2-1a)}$$其中$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )e^{-i\omega \tau }d\tau \text{\hspace{1em}(1-2-1b)}$$
• (1-2-1a)称为$f(t)$的傅里叶正变换，$F(\omega )$ 称为 $f(t)$ 的象函数，记作 $F(\omega )=F[f(t)]$。
• (1-2-1b)称为$F(\omega )$的傅里叶逆变换，$f(t)$称为$F(\omega )$的象原函数，记作$f(t)=F^{-1}[F(\omega )]$。

3 解释

• 与周期函数展开成傅里叶级数的本质相同，傅里叶变换也是将函数在时域和频域之间进行转换，其中$f(t)$对应了在时域中函数的模型，$F(\omega )$则对应了在频域中的模型。
• 由于$\Delta \omega \to 0$，因此$F(\omega )$在频域中是连续的，而不是若干个狄拉克$\delta$函数的线性组合。
• 可以将傅里叶变换看作是傅里叶展开的拓展情况。
• 因为公式中带有了$e^{it}$，因此可以使用复平面的思路来理解傅里叶变换：把$e^{-i\omega t}$看作是角速度为$\omega$的逆时针旋转轨迹，乘上$f(t)$后则变成了一个由$\omega$决定的周期旋转轨迹。积分看作是把轨迹上所有的点进行累加。当旋转轨迹比较杂乱的时候，对应着$F(\omega )$较小(因为在这时可以看作轨迹中的点平均分布在复平面原点周围，因此它们将会相互抵消)；当旋转轨迹比较规则的时候，$F(\omega )$会变得极大。

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连续傅里叶变换的性质

傅里叶具有着许多优良的性质，这些性质使得它在工程中被广泛应用。²

1 线性性质

• 两个函数的傅里叶变换等于各自变换之和，即$$\mathcal{F}[\alpha f+\beta g]=\alpha \mathcal{F}[f]+\beta \mathcal{F}[g]$$

1.1 证明

• 假设函数$f(x)$和$g(x)$的傅里叶变换$\mathcal{F}[f]$和$\mathcal{F}[g]$存在，$\alpha$和$\beta$为任意常数，有：$$\begin{gathered} \mathcal{F}[\alpha f]={\int }_{-\infty }^{+\infty }\alpha f(\tau )e^{-i\omega \tau }d\tau \\ =\alpha {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )e^{-i\omega \tau }d\tau =\alpha \mathcal{F}[f] \end{gathered}$$同理$$\mathcal{F}[\beta g]=\beta \mathcal{F}[g]$$
• 因此有$$\begin{gathered} \mathcal{F}[\alpha f+\beta g]={\int }_{-\infty }^{+\infty }[\alpha f(\tau )+\beta g(\tau )]e^{-i\omega \tau }d\tau \\ ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\alpha f(\tau )e^{-i\omega \tau }d\tau +{\int }_{-\infty }^{+\infty }\beta g(\tau )e^{-i\omega \tau }d\tau \\ =\mathcal{F}[\alpha f]+\mathcal{F}[\beta g] \\ =\alpha \mathcal{F}[f]+\beta \mathcal{F}[g] \end{gathered}$$

1.2 拓展

• 傅里叶变换算符$\mathcal{F}$有着线性性质，因此具有线性代数里面的一点特征：如 F { F − 1 [ f ] } = f \mathscr{F}\{\mathscr{F}^{-1}[f]\}=f F{ F−1[f]}=f。

2 平移性质

• 若函数 $f(t)$ 存在傅里叶变换，则对任意实数 ${\omega }_0$ ，函数$f(t)e^{i{\omega }_{0}t}$也存在傅里叶变换，且有$$\mathcal{F}[f(t)e^{i{\omega }_{0}t}]=F(\omega -{\omega }_0)$$

2.1 证明

• 对于函数$f(t)e^{i{\omega }_{0}t}$，有$$\begin{gathered} \mathcal{F}[f(t)e^{i{\omega }_{0}t}]={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{i{\omega }_{0}t}{e}^{-i\omega t}dt \\ ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i(\omega -{\omega }_0)t}dt \\ =F(\omega -{\omega }_0) \end{gathered}$$

2.2 拓展

• 容易得到傅里叶变换的另一种平移性质$$\mathcal{F}[f(t+t_0)]=e^{i\omega t_0}F(\omega )$$

3 伸缩性质

• $$\mathcal{F}[f(at)]=\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega }{a}),a\ne 0$$

3.1 证明

• $$\begin{gathered} \mathcal{F}[f(at)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(at)e^{-i\omega t}dt \\ =\frac{1}{a}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(at)e^{-i\frac{\omega }{a}aat}dt \\ =\frac{1}{a}F(\frac{\omega }{a}) \end{gathered}$$由积分区间的对称性可得$$\mathcal{F}[f(at)]=\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega }{a})$$

4 微分性质

• 如果$f(t)$在$(-\infty ,+\infty )$上连续或只有有限个可去间断点，且当$|t|\to \infty$时，$f(t)\to 0$，则$$\mathcal{F}[f^{\prime }(t)]=i\omega \mathcal{F}[f(t)]$$

4.1 证明

(1) 由在复平面的函数求导等于原方程乘以$i\omega$可以得出。
(2) $$\begin{gathered} \mathcal{F}[f^{\prime }(t)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}^{\prime }(t)e^{-i\omega t}dt \\ =f(t)e^{-i\omega t}{|}_{-\infty }^{+\infty }+i\omega {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt \\ =i\omega \mathcal{F}[f(t)] \end{gathered}$$

4.2 拓展

• 由(1)可得$$\mathcal{F}[f^{(n)}(t)]=(i\omega {)}^n\mathcal{F}[f(t)]=(i\omega {)}^{n}F(\omega )$$
• 对$F(\omega )$求导，有$$F^{\prime }(\omega )=\frac{d}{d\omega }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt=\mathcal{F}[-itf(t)]$$一般地，有$$\frac{d^n}{d{\omega }^n}F(\omega )=\mathcal{F}[(-it{)}^{n}f(t)]$$

5 积分性质

• 如果当$t\to \infty$时，${\int }_{-\infty }^{t}f(t)dt\to 0$，则有$$\mathcal{F}[{\int }_{-\infty }^{t}f(t)dt]=\frac{1}{i\omega }\mathcal{F}[f(t)]$$

5.1 证明

(1)由在复平面的函数积分等于原方程乘以$\frac{1}{i\omega }$得出。
(2) $$\mathcal{F}[\frac{d}{dt}{\int }_{-\infty }^{t}f(t)dt]=\mathcal{F}[f(t)]$$由微分性质可得$$\mathcal{F}[\frac{d}{dt}{\int }_{-\infty }^{t}f(t)dt]=i\omega \mathcal{F}[{\int }_{-\infty }^{t}f(t)dt]$$所以有$$\mathcal{F}[f(t)]=i\omega \mathcal{F}[{\int }_{-\infty }^{t}f(t)dt]$$移项后得到$$\mathcal{F}[{\int }_{-\infty }^{t}f(t)dt]=\frac{1}{i\omega }\mathcal{F}[f(t)]$$

6 卷积性质

6.1 卷积

• 卷积是一种通过两个函数$f$和$g$生成第三个函数的一种算子，表征函数$f$与经过翻转和平移的$g$的乘积函数所围成的曲边梯形面积。
• 对于R上可积函数$f(x)$与$g(x)$，其卷积为$$(f\ast g)(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$$

6.2 数学表达

• $$\mathcal{F}[f(t)\ast g(t)]=F(\omega )G(\omega )\text{\hspace{1em}(2-6-1a)}$$
• $$\mathcal{F}[f(t)g(t)]=F(\omega )\ast G(\omega )\text{\hspace{1em}(2-6-1b)}$$

6.3 解释

• 从(2-6-1a)可以看出，时域卷积在频域中表示为频域相乘。从(2-6-1b)可以看成，频域卷积能够表示为时域相乘。使用这种性质，可以制作出一些保留特定频率的滤波器；在卷积神经网络中的卷积层也是运用了这种思想来提取图像中特定的特征。

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1. 这里只是为了直观对比而进行了简化，实际上积分的定义有着非常复杂和严谨的过程！ ↩︎

2. 在这里使用了$F$和$\mathcal{F}$两种表述，前者为傅里叶变换后的象函数，后者为傅里叶变换运算符，不严谨的来讲在某些地方两者表达的是同一个内容，因此在这里可能会出现混用的情况。 ↩︎