利用DFT对连续信号做频谱分析

处理框图

以上的处理流程就是对信号进行一次一次近似的过程，其中每一次近似都会伴随有信息丢失。

信号的采样–频谱混叠

1. 在对连续信号进行采样时，必须满足采样定理，以避免频谱混叠。

信号的截断–频谱泄露

1. 为何会有频谱泄漏?
   在x_N[n] = x[n]R_N[N]这个过程中会发生频谱泄漏（R_[N]为矩形序列）：因为R_N[n]序列的DTFT是一个Sa()函数，时域的乘积对应频域的卷积，因此会发生频谱的泄露。
   

• 第二行图像是用N=16的矩形序列对原始信号x[n]进行截断的结果，左图为时域形状，右图为对应频谱。可以明显观察到：原始信号x[n]的频谱在Ω₀处有一个尖峰，其他频率分量上几乎为0；但在N=16这幅图像中Ω₀处的尖峰被扩展，一个周期几乎所有频率上都有非零值，即频率从Ω₀处泄漏到其他频率处去了。
• 第三行图像是用N=64的矩形序列对原始信号x[n]进行截断的结果，左图为时域形状，右图为对应频谱。可以明显观察到：相较于N=16的图像，此时的频谱在Ω₀处的尖峰更加明显，在其他频率上的分量较之也有明显的衰减。

2. 如何解决频谱泄漏？

• 如上图的对比，我们可以增加窗口长度N，以减少混叠。
• 适当选取截断信号的位置，以获得更多的信息。
• 适当调节窗函数的权值，将窗口两边的权值调低。
  3.== 频谱泄漏来源于窗口函数和数字序列的乘积，是两个序列DTFT的卷积。理解频谱泄漏，要从DTFT的角度理解；DFT只不过是对DTFT的采样，与频谱泄漏无关。==

DFT的采样–栅栏效应

1. 栅栏效应：
   N点DFT是在频率区间[0,2π]上对信号频谱进行N点等间隔采样，得到的是若干个离散的频谱点x[k]，且他们限制在基频的整数倍上，就好像栅栏的一边通过缝隙看另一边的景象一样，只能在离散点出看到真实的景象，其余部分的频谱被遮挡，所以称之为栅栏效应。示意图如下：
   
2. 如何解决栅栏效应？
   （1）提高信号的采样点数：
   尾部补零，使谱线变密，增加频域采样点数，原来漏掉的某些频谱分量就可能被检测出来。
3. DFT的分辨率：
   填补零值可以改变对DTFT的采样密度，人们常常有一种误解，认为补零可以提高DFT的分辨率。**事实上我们通常规定DFT的频率分辨率为f_s/N，这里的N是指信号x[n]的有效长度，而不是补零的长度。**不同长度的x(n)其DTFT的结果是不同的；而相同长度的x(n)尽管补零的长度不同但其DTFT的结果是相同的，他们的DFT知识反映了对相同DTFT才用了不同的采样密度。
   总之，补零可以增加对DTFT采样密度，但是不能改变分辨率，只有真正增加采样点的个数，才能提高分辨率。
4. 为何补零可以解决栅栏效应，而不能提高分辨率？
   可供参考
   个人理解为，补零只会增加频谱的采样点数，但是频谱的形状是没有变化的。但是如果我们增加了采样点数，我们的DTFT就会发生变化，频谱的形状就会发生变化，可以更精确地分辨出频率分量。