周期信号的频谱分析

周期信号的频谱

之前我们已经了解到了，任一满足狄利克雷条件的周期信号都可以进行傅里叶级数展开；分解成直流分量以及许多正余弦分量。
这些正余弦分量的频率必定是基频(基波频率)的整数倍，响应的频率分量分别为奇次偶次谐波。

直流分量 $\bm{a_0=\frac{1}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)dt}$ 的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号的波形。

以下图为例，级数合并为谐波形式 $\bm{f(t)=c_0+\sum_{n=1}^{\infty}c_ncos{(nw_1+φ_n)}}$ 及指数形式

$\bm{F_n=\frac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)e^{-jnw_1t}dt}$ （ $F_n$ 是一个复函数，其频谱为复数频谱）可得到频谱图：

另外取 $F_n$ 的模平方还可以得到其功率谱：

周期信号的谱线是离散谱，具有收敛特性（频率越高能量越低，主要集中在低频段），非周期信号的谱线是连续谱；但是周期信号中冲激函数序列的频谱不满足收敛特性，他既不是能量信号，也不是功率信号，而是无穷能量+无穷功率的特例。

周期矩形脉冲序列的频谱结构

由此可推出 $F_n=\frac{1}{2}a_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}E\frac{e^{jnwt}+e^{-jnwt}}{2}dt=\frac{E}{Tjnw}[e^{\frac{jnwτ}{2}}-e^{\frac{-jnwτ}{2}}]$ ,再经欧拉公式变换，可得到

萨函数 $(\bm{\frac{sin\pi x}{\pi x}})$ 形式的包络函数:

时域信号的门函数对应频域信号的萨函数
绘制其频谱图：

n取0时，萨函数值为1， $F_0 = \frac{E τ}{T_1}$ ，信号的带宽 $B_w$ 为坐标原点至第一过零点（物理当中负频率没有意义，所

以截止频率必须>0），为主瓣x轴宽度的 $\frac{1}{2}$ ，带宽与脉宽成反比，且等于 $\bm{\frac{2\pi}{τ} rad/s=\frac{1}{τ} Hz}$ ，时域压缩，频域扩展。
周期越大，谱线间隔越来越小，当周期趋向于无穷大时，离散谱变为连续谱，且谱线高度降低为0。

该信号90%的能量都集中在主瓣之内，所以可以利用主瓣带宽近似代替信号带宽；但是频谱中除了本来该有的主瓣之外，还会出现本不该有的旁瓣，这就是频谱泄露。为了减弱频谱泄露，可以采用加权的窗函数，而未加权的矩形窗泄露最为严重。
详情可参考深入浅出的理解频谱泄露