题目
设有 N×N 的方格图，我们在其中的某些方格中填入正整数，而其它的方格中则放入数字0。如下图所示：
某人从图中的左上角 A 出发，可以向下行走，也可以向右行走，直到到达右下角的 B 点。
在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。
此人从 A 点到 B 点共走了两次，试找出两条这样的路径，使得取得的数字和为最大。
输入格式
第一行为一个整数N，表示 N×N 的方格图。
接下来的每行有三个整数，第一个为行号数，第二个为列号数，第三个为在该行、该列上所放的数。
行和列编号从 1 开始。
一行“0 0 0”表示结束。
输出格式
输出一个整数，表示两条路径上取得的最大的和。
数据范围
N≤10
输入样例：
8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0
输出样例：
67
思路
只走一次:
f[i,j]表示所有从(1,1)走到(i,j)的路径的最大值f[i,j]= max(f[i-1,j]+ w[i], f[i-1][j]+ w[i])
走两次:
f[i1,j1,i2,j2]表示所有从(1,1),(1,1)分别走到(i1,j1),(i2,j2)的路径的最大值
如何处理"同—个格子不能被重复选择"?
只有在i1 + j1 == i2 +j2时，两条路径的格子才可能重合
f[k, i1, i2]表示所有从(1,1),(1,1)分别走到(i1,k-i1), (i2,k-i2)的路径的最大值
k表示两条路线当前走到的格子的横纵坐标之和
k = i1 + j1 = i2+ j2
因此把状态由f[i1][j1][i2][j2]优化成三维 f[k][i1][i2]
等价于 [i1][k−i1][i2]k−i2]
状态转移方程的求解：
考虑四种走法：
第一条：下 第二条：下
f[i1-1]][j1][i2-1][j2]==f[k-1][i1-1][i2-1];
第一条：下 第二条：右
f[i1-1][j1][i2][j2-1]==f[k-1][i1-1][i2];
第一条：右 第二条：下
f[i1][j1-1][i2-1][j2]==f[k-1][i1][i2-1];
第一条：右 第二条：右
f[i1][j1-1][i2][j2-1]==f[k-1][i1][i2];
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=15;
int w[N][N];
int f[N*2][N][N];
int main()
{
int n;
cin>>n;
int a,b,c;
while(cin>>a>>b>>c,a||b||c) w[a][b]=c;
for(int k=2;k<=n*2;k++)
for(int i1=1;i1<=n;i1++)
for(int i2=1;i2<=n;i2++)
{
int j1=k-i1,j2=k-i2;
int t=w[i1][j1];
if(i1!=i2) t+=w[i2][j2]; //未走到同一格子
if(i1>=1&&i1<=n&&i2>=1&&i2<=n) //判断是否在边界内
{
int &x=f[k][i1][i2];
x=max(x,f[k-1][i1-1][i2-1]+t);
x=max(x,f[k-1][i1-1][i2]+t);
x=max(x,f[k-1][i1][i2-1]+t);
x=max(x,f[k-1][i1][i2]+t);
}
}
cout<<f[n*2][n][n]<<endl;
return 0;
}