UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理21 Skorohod定理的证明
Skorohod定理
如果 F n ⇒ F F_n \Rightarrow F Fn⇒F，则存在以 F n F_n Fn为cdf的 Y n Y_n Yn与以 F F F为cdf的 Y Y Y，使得 Y n → a . s . Y Y_n \to_{a.s.} Y Yn→a.s.Y。
证明
简单起见，因为 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)与 R \mathcal{R} R是同胚，我们考虑 Ω = ( 0 , 1 ) \Omega = (0,1) Ω=(0,1)， F = B ( ( 0 , 1 ) ) \mathcal{F} = \mathcal{B}((0,1)) F=B((0,1))， P P P是均匀概率测度， ∀ x ∈ Ω \forall x \in \Omega ∀x∈Ω，定义
Y n ( x ) = sup { y : F n ( y ) < x } Y ( x ) = sup { y : F ( y ) < x } Y_n(x) = \sup\{y:F_n(y)<x\} \\ Y(x) = \sup\{y:F(y)<x\} Yn(x)=sup{
y:Fn(y)<x}Y(x)=sup{
y:F(y)<x}
这其实是分位点的一般性定义，于是 Y n ∼ F n , Y ∼ F Y_n \sim F_n,Y \sim F Yn∼Fn,Y∼F。定义
a ( x ) = sup { y : F ( y ) < x } b ( x ) = inf { y : F ( y ) > x } Ω 0 = { x : ( a ( x ) , b ( x ) ) = ϕ } a(x) = \sup\{y:F(y)<x\} \\ b(x) = \inf\{y:F(y)>x\} \\ \Omega_0 = \{x:(a(x),b(x)) =\phi\} a(x)=sup{
y:F(y)<x}b(x)=inf{
y:F(y)>x}Ω0={
x:(a(x),b(x))=ϕ}
如果 ( a ( x ) , b ( x ) ) ≠ ϕ (a(x),b(x)) \ne \phi (a(x),b(x))=ϕ，就说明分布函数有一段是平的，显然 Ω ∖ Ω 0 \Omega \setminus \Omega_0 Ω∖Ω0可列。要说明 Y n → a . s . Y Y_n \to_{a.s.} Y Yn→a.s.Y，我们需要 Y n ( x ) → Y ( x ) , ∀ x ∈ Ω 0 Y_n(x) \to Y(x),\forall x\in \Omega_0 Yn(x)→Y(x),∀x∈Ω0。
∀ x ∈ Ω 0 \forall x \in \Omega_0 ∀x∈Ω0， a ( x ) = b ( x ) a(x)=b(x) a(x)=b(x)，根据定义
F ( y ) < x , ∀ y < a ( x ) = Y ( x ) F ( z ) > x , ∀ z > b ( x ) = Y ( x ) F(y)<x,\forall y<a(x) = Y(x) \\ F(z)>x,\forall z>b(x)=Y(x) F(y)<x,∀y<a(x)=Y(x)F(z)>x,∀z>b(x)=Y(x)
于是
lim inf Y n ( x ) ≥ Y ( x ) , ∀ x ∈ Ω 0 \liminf Y_n(x) \ge Y(x),\forall x \in \Omega_0 liminfYn(x)≥Y(x),∀x∈Ω0
因为 F ( y ) < x , F n ( x ) → F ( x ) F(y)<x,F_n(x) \to F(x) F(y)<x,Fn(x)→F(x)，根据极限的保号性， F n ( y ) < x F_n(y)<x Fn(y)<x，于是 y ≤ Y n ( x ) y \le Y_n(x) y≤Yn(x)，所以 lim inf Y n ( x ) ≥ y \liminf Y_n(x) \ge y liminfYn(x)≥y，取一列 y y y使其递增收敛到 Y ( x ) Y(x) Y(x)，根据连续性， lim inf Y n ( x ) ≥ Y ( x ) , ∀ x ∈ Ω 0 \liminf Y_n(x) \ge Y(x),\forall x \in \Omega_0 liminfYn(x)≥Y(x),∀x∈Ω0
类似的，
lim sup Y n ( x ) ≤ Y ( x ) , ∀ x ∈ Ω 0 \limsup Y_n(x) \le Y(x),\forall x \in \Omega_0 limsupYn(x)≤Y(x),∀x∈Ω0
于是
Y n ( x ) → Y ( x ) , ∀ x ∈ Ω 0 Y_n(x) \to Y(x),\forall x \in \Omega_0 Yn(x)→Y(x),∀x∈Ω0