【2020.12.30更新】数字信号处理公式推导

卷积

$h(t)\otimes x(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau$

令$\tau =u+\frac{t}{2}$，则

$h(t)\otimes x(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(u+\frac{t}{2})x(-u+\frac{t}{2})du$

$h(t)\otimes x(-t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(u+\frac{t}{2})x(u-\frac{t}{2})du$

序列傅里叶变换(SFT)性质

SFT[1]=$2\pi \tilde{\delta }(\omega )$，其中$\tilde{\delta }(\omega )$为以$2\pi$为周期的周期单位冲激函数。
SFT[$e^{j{\omega }_{0}n}$]=$2\pi \tilde{\delta }(\omega -{\omega }_0)$

周期为$N$的周期序列$\tilde{x}(n)$的序列傅里叶变换

$X(e^{j\omega })=\frac{2\pi }{N}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\tilde{X}(k)\delta (\omega -\frac{2\pi }{N}k)$ （$P_{76}$）

令$\tilde{x}(t)$为

$$\tilde{x}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\tilde{x}(n)\delta (t-n{T}_0)$$

是由$x(t)$以$T$为周期进行延拓后以$T_0$为间隔进行采样得到的。$\tilde{x}(n)$周期为$N$，即每个周期有$N$个采样点，则$\tilde{x}(t)$是周期为$T=N{T}_0$的采样信号，是连续信号，其傅里叶变换为。

$$\begin{gathered} \tilde{X}(j\Omega )={X(e^{j\omega })|}_{\omega =\Omega T_0} \\ =\frac{2\pi }{N}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\tilde{X}(k)\delta (\Omega T_0-\frac{2\pi }{N}k) \\ =\frac{2\pi }{N{T}_0}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\tilde{X}(k)\delta (\Omega -\frac{2\pi }{N{T}_0}k) \\ =\frac{2\pi }{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\tilde{X}(k)\delta (\Omega -\frac{2\pi }{T}k) \end{gathered}$$

那么$T\tilde{x}(t)\leftrightarrow \sum _{k=-\infty }^{+\infty }2\pi \tilde{X}(k)\delta (\Omega -\frac{2\pi }{T}k)$，也就是下面图中的公式。

$Sa$函数与$sinc$函数的区别

$Sa(x)=\frac{\sin x}{x}$

$sinc(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$

线性卷积与循环卷积

循环卷积序列是线性卷积序列以循环卷积的长度为周期周期延拓后的主值序列。

• 循环卷积序列 是有限的。

概率密度函数的特征函数

概率密度函数的傅里叶变换

$a=0$且$\gamma ={\sigma }^2=1$时，成为标准$\alpha$稳定分布
$\beta =0$时称为对称分布，简称$S\alpha S$分布

功率归一化

使信号的功率为1，即

$$y^{\prime }=\frac{y}{\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{\left|y(n)\right|}^2}}$$

剩余码间干扰（ISI）定义

$$ISI=\frac{\sum {\left|\theta (n)\right|}^2}{\max {\left|\theta (n)\right|}^2}$$

或
$$ISI=\frac{\sum {\left|\theta (n)\right|}^2-\max {\left|\theta (n)\right|}^2}{\max {\left|\theta (n)\right|}^2}$$