数学甜点004 | 全靠“经验”解决一道经典的几何不等式

数学是一门及其高深又变幻莫测的学科，且其根本就是问题的解决，因此是不可能也没有必要去寻找一种能够解决所有问题的通解的。坦白说，研究数学的最大乐趣就是在于发现从来没有人走过的新道路，即一种不同于常规的具有跳跃性，构造性的解法。换句话说，无论是数学家还是数学爱好者，都在寻找这样一种“妙解”。如勾股定理的某些证明方法即是其中之一。

归根结底，为了能够实现这种目的，我们就必须要了解如此奇妙的思维是如何激发、训练出来的。不过事实上，尽管这听起来十分困难，但多年的实践告诉我，答案出乎意料地简单——经验。在长期的解答训练中，我们都会慢慢培养一种能力，即直觉。通过这种直觉，有些看似复杂的问题似乎就会迎刃而解。这里举一个例子吧：

$$\text{如图}\text{，在}△ABC\text{中，}D,E,F\text{三点平分周长，求证：}DE+EF+FD\ge \frac{1}{2}\left(AB+BC+CA\right).$$

如果是第一次见到此类的几何不等式题目，便不禁觉得无从下手：光是这个奇怪的“三等分周长”条件就几乎没有用处。难道是要把整个三角形“展开”成一条直线再进行操作吗？很显然不是——就算用纯几何法展开了，也还是很难解决。

既然这样，那就把每条线段表示出来再用余弦定理暴力计算吧。别急，先分析一下情况：
很显然，我们想要的是一个较好看的对称式，而不是一个杂乱无章的代数式，因此自然会考虑设$AE=x,BF=y,CD=z.$ 对称是有了，但此时带来了一个新问题：我们这样设元并没有清楚地表示出周长，其他边也不知道是多少，因此不可避免地要设第四个变量。

这样的话，显然就已经超出了基本不等式能解决的范畴。

而这个时候，就要靠经验了：

如图所示，分别过$E,F$作对边垂线交于$E’,F’$，那么便有$EF\ge E’F’.$而注意到：
$$\begin{gathered} E’F’=BC-BF’-CE’=BC-BF\cos B-CE\cos \mathrm{C} \\ \Rightarrow \text{类推可得}DE+EF+FD\ge D’E’+E’F’+F’D’ \\ =AB+BC+CA-\left(BF+BD\right)\cos B-\left(CD+CE\right)\cos C-\left(AE+AF\right)\cos A \\ =AB+BC+CA-\frac{1}{3}\left(AB+BC+CA\right)\cdot \left(\cos A+\cos B+\cos C\right). \end{gathered}$$

（自然还是要往给的边上的条件去靠近的）

$$\begin{gathered} \text{而}\cos A+\cos B+\cos C=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+1-2{\sin }^2\frac{C}{2} \\ \le 1+2\sin \frac{C}{2}-2{\sin }^2\frac{C}{2} \\ =-2{\left(\sin \frac{C}{2}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}\le \frac{3}{2}. \\ \left(\text{等号当且仅当}\cos A=\cos B=\cos C=\frac{1}{2},\text{即}A=B=C=60°\text{时取得。}\right)■ \end{gathered}$$

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结束语（凑字数专用） ：

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