一道积分不等式的证明

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/xhf0374/article/details/53561841

设 $f(x)$ 是闭区间 $[0,1]$ 上满足 $f(0)=f(1)=0$ 的连续可微函数，求证不等式

$$\left(\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x \right)^2 \leq \frac{1}{12} \int_0^1 |f'(x)|^2 \mathrm{d}x,$$
并且等号成立当且仅当 $f(x)=Ax(1-x),$ 其中 $A$ 是常数。

证明 由 Newton-Leibniz 公式，

$$f(x)=\int_0^x f'(t)\mathrm{d}t,\quad f(x)=\int_1^x f'(t)\mathrm{d}t.$$
由分部积分公式
$$\begin{align} \int_0^1 f(x)\mathrm{d}x &=\int_0^1 \int_0^x f'(t)\mathrm{d}t \mathrm{d}x \\ &=x\int_0^x f'(t)\mathrm{d}t \Bigg |^1_0-\int_0^1 xf'(x)\mathrm{d}x \\ &=\int_0^1 (1-x)f'(x)\mathrm{d}x.\quad(1) \end{align}$$
$$\begin{align} \int_0^1 f(x)\mathrm{d}x &=\int_0^1 \int_1^x f'(t)\mathrm{d}t \mathrm{d}x \\ &=x\int_1^x f'(t)\mathrm{d}t \Bigg |^1_0-\int_0^1 xf'(x)\mathrm{d}x \\ &=-\int_0^1 xf'(x)\mathrm{d}x.\quad(2) \end{align}$$
将 (1)(2) 两式相加可得
$$\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_0^1 (1-2x) f'(x)\mathrm{d}x.$$
因此由 Cauchy-Schwarz 不等式可得
$$\begin{align} \left(\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x \right)^2 &=\frac{1}{4} \left(\int_0^1 (1-2x)f'(x)\mathrm{d}x \right)^2 \\ &\leq \frac{1}{4} \int_0^1(1-2x)^2\mathrm{d}x \cdot \int_0^1 |f'(x)|^2 \mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{12} \int_0^1 |f'(x)|^2 \mathrm{d}x. \end{align}$$
由 Cauchy-Schwarz 不等式的等号成立条件可知，上式等号成立当且仅当 $f'(x)=A(1-2x)$, 即 $f(x)=Ax(1-x)+C,$ 又由于 $f(0)=0,$ 因此 $C=0,$ 故等号成立当且仅当 $f(x)=Ax(1-x),$ 其中 $A$ 是常数。 $\quad \square$

---

后记

这种和 $f(x),f'(x)$ 有关的积分不等式往往要利用 Newton-Leibniz 公式和积分形式的 Cauchy-Schwarz 不等式。

最开始遇到这道题的时候，没有找到合适的方法使最终结果出现 $\frac{1}{12}$, 苦苦思索几天仍未有所收获，终于在今天晚上突然联想到 Cauchy-Schwarz 不等式的等号成立条件，要证的是等号成立当且仅当 $f(x)=Ax(1-x)$, 也就是当且仅当 $f'(x)=A(1-2x)$。并且容易知道，$\int_0^1 (1-2x)^2 \mathrm{d}x=\frac{1}{3}$, 这与结果中的 $\frac{1}{12}$ 已经有那么一点接近了，这样一来，如果能凑出 $\int_0^1 (1-2x) f'(x) \mathrm{d}x$ 再利用 Cauchy-Schwarz 不等式，或许就能证出想要的结果。按照这样的思路，利用题中的已知条件来尝试凑出 $\int_0^1 (1-2x) f'(x) \mathrm{d}x$，果然完美地证出了想要的结果。

以上的就是整个证明过程的想法，也是苦苦思考几天的一点小小的灵感，故作此文，以记录那灵感闪现的瞬间 :)

2016.12.10