琴生不等式的证明

琴生不等式:若函数 $f(x)$ 在区间[a,b]上是凸函数,且 $x_{1},x_{2},......x_{n}$ 都是区间[a,b]内的数；

则有① $f(\frac{x_{1}+x_{2}+......+x_{n}}{n})\geq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})+......+f(x_{n})}{n}$ ;

若 $a_{1}+a_{2}+......+a_{n}= 1$ 且 $a_{i}\geq 0$

则有② $f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+......+a_{n}x_{n})\geq a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})+......+a_{n}f(x_{n})$ 。

两个不等式等号成立的条件是当且仅当 $x_{1}= x_{2}=......= x_{n}$ 时等号成立

先来证明②式然后让 $a_{1}= a_{2}=......= a_{n}=\frac{1}{n}$ 就可以直接证明不等式①了。

我们需要一个辅助结论若 $x_{1},x_{2},......,x_{n}$ 都是区间[a,b]内的数, $a_{1}+a_{2}+......+a_{n}= 1$ 且 $a_{i}\geq 0$

则有 $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+......+a_{n}x_{n}$ 仍然是区间[a,b]内的数

证明:

不妨设 $x_{1}\geq x_{2}\geq ......\geq x_{n}$ ;

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$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+......+a_{n}x_{n}$ =

$a_{1}\left ( x_{1}-x_{2} \right ) + \left ( a_{1}+a_{2} \right )\left ( x_{2}-x_{3} \right )+......$

$+(a_{1}+a_{2}+......$ $+ a_{n-1})(x_{n-1}-x_{n})+(a_{1}+a_{2}+......+a_{n})x_{n}$

不难发现多项式的每一项的值都是[0,(Xi - Xi+1)] $1\leq i\leq n-1$ 区间的数或者为0;

因此命题得证

接下来利用数学归纳法证明不等式②

证明:

当 $n= 1$ 时不等式为 $f(x_{1})=f(x_{1})$ 不等式显然成立

当 $n= 2$ 时不等式为 $f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})\geq a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})$

对 $n= 2$ 时证明:

连结曲线上的两点 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ 构建斜点式直线方程 $y= G(x)=kx+b$

则在区间 $(x_{1},x_{2})$ 中直线 $G(x)$ 在曲线的下方

总有 $G(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})= a_{1}G(x_{1})+a_{2}G(x_{2})$

因此 $a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})$ $= G(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})= a_{1}G(x_{1})+a_{2}G(x_{2})$

由于 $f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})\geq G(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})$ 当且仅当 $x_{1}= x_{2}$ 时等号成立

因此 $f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})\geq a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})$ 当且仅当 $x_{1}= x_{2}$ 时等号成立

假设对任意 $n\geq 2$ 不等式②都成立即:

假设 $f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+......+a_{n}x_{n})\geq a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})+......+a_{n}f(x_{n})$ 对任意 $\geq 2$ 都成立

则当 $n= n+1$ 时不等式②为:

$a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})+......+a_{n}f(x_{n})+a_{n+1}f(x_{n+1})$

$= (1-a_{n+1})$ $[\frac{a_{1}}{1-a_{n+1}}f(x_{1})+\frac{a_{2}}{1-a_{n+1}}f(x_{2})+......+\frac{a_{n}}{1-a_{n+1}}f(x_{n})]$ $+a_{n+1}f(x_{n+1})$

注意上式 $a_{_1}+a_{_2}+.....+a_{_n}= 1-a_{_n+1}$

$\leq (1-a_{n+1})$ $f(\frac{a_{1}}{1-a_{n+1}}x_{1}+\frac{a_{2}}{1-a_{n+1}}x_{2}+......+\frac{a_{n}}{1-a_{n+1}}x_{n})$ $+a_{n+1}f(x_{n+1})$

$\leq f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+......+a_{n}x_{n}+a_{n+1}x_{n+1})$

因此当 $n= n+1$ 时不等式仍然成立

因此原不等式②是正确的

以上对凸函数进行研究那凹函数又有怎样的性质呢

由于直线会在凹函数曲线的上方

所以对于凹函数总有:

③ $f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+......+a_{n}x_{n})\leq a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})+......+a_{n}f(x_{n})$

④ $f(\frac{x_{1}+x_{2}+......+x_{n}}{n}) \leq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})+......+f(x_{n})}{n}$