排序不等式证明

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今天考题有个结论要用排序不等式证明…

为什么他们猜到了结论我什么都不知道啊..

证明参考了https://blog.csdn.net/lanchunhui/article/details/52497375

排序不等式是干嘛的呢 首先有两个数列$a, b$

满足$a_1 <= a_2 <= ... <= a_n, b_1 <= b_2 <= ... <= b_n$

满足顺序和 >= 乱序和 >= 逆序和

顺序和$=\sum_{i = 1}^na_ib_i$

乱序和$=\sum_{i = 1}^na_ib_{p_i}$ 其中$p$是$1-n$的一个排列

逆序和$=\sum_{i = 1}^na_ib_{n - i + 1}$

先证明顺序和 >= 逆序和

设$s_k = \sum_{i = 1}^kb_i, s'_k = \sum_{i = 1}^kb_{p_i}$

那么有$s_k <= s'_k, s_n = s'_n$ 这个 比较显然 最小的几个肯定比任选几个小

又因为$a_i - a_{i + 1} <= 0$

那么$s_i(a_i - a_{i + 1}) >= s'_i(a_i - a_{i + 1})$

对于顺序和的每一项我们可以用$a_i(s_i- s_{i - 1})$表示出来

那么$\sum_{i = 1}^na_ib_i = \sum_{i = 1}^na_i(s_i - s_{i - 1})=\sum_{i = 1}^{n - 1}s_i( a_i-a_{i + 1}) + a_ns_n$

同理乱序和 $=\sum_{i = 1}^{n - 1}s'_i(a_i - a_{i + 1}) + a_ns'_n$

由于正序和每一项都大于等于乱序和 所以正序和大于等于乱序和得证

乱序和大于等于逆序和也可以用这个方法证明。