切比雪夫不等式的证明

版权声明：本文为博主原创文章，转载请注明出处http://blog.csdn.net/zhouyelihua https://blog.csdn.net/zhouyelihua/article/details/54234476

详细见：http://makercradle.com/2017/%E5%88%87%E6%AF%94%E9%9B%AA%E5%A4%AB%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E8%AF%81%E6%98%8E/

已知：X是一个连续的随机变量，

$$E(X)=\mu,D(X)=\delta^2$$ 实数 $$\varepsilon>0$$

求证：

$$P(\|X-\mu\|\geq\varepsilon)\leq\frac{\delta^2}{\varepsilon^2}$$

证明：

 因为：

$$\delta^2=V(X)$$

$$=\int_{-\infty}^{+\infty}{(t-\mu)^2f_X(t)dt}$$

$$\geq\int_{-\infty}^{\mu-\varepsilon}{(t-\mu)^2f_X(t)dt}+\int_{\mu-\varepsilon}^{+\infty}{(t-\mu)^2f_X(t)dt}$$

$$\geq\int_{-\infty}^{\mu-\varepsilon}{\varepsilon^2f_X(t)dt}+\int_{\mu-\varepsilon}^{+\infty}{\varepsilon^2f_X(t)dt}$$

 由于：

$$t\leq\mu-\varepsilon\Rightarrow\varepsilon\leq\|t-\mu\|\Rightarrow\varepsilon^2\leq(t-\mu)^2$$

那么有

$$=\varepsilon^2\int_{-\infty}^{\mu-\varepsilon}{f_X(t)dt}+\int_{\mu-\varepsilon}^{+\infty}{f_X(t)dt}$$

$$=\varepsilon^2P(X\leq\mu-\varepsilon or X\geq\mu+\varepsilon)$$

$$=\varepsilon^2P(\|X-\mu\|\geq\varepsilon)$$

因此有：

$$\delta^2\geq\varepsilon^2P(\|X-\mu\|\geq\varepsilon)$$

证明成立！