【证明】【一题多解】布尔不等式（union bound）的证明

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布尔不等式（Boole’s inequality）也叫（union bound），即并集的上界，描述的是至少一个事件发生的概率（$\mathbb{P}\left(\bigcup_i A_i\right)$）不大于单独事件（事件之间未必独立）发生的概率之和（$\sum_i\mathbb P(A_i)$）。

即：

$$\mathbb{P}\left(\bigcup_i A_i\right)\leq \sum_i\mathbb P(A_i)$$

展开即为：

$$\mathbb P\left(A_1\bigcup A_2\bigcup \cdots\right)\leq \mathbb P\left(A_1\right)+\mathbb P\left(A_2\right)+\cdots$$

1. 数学归纳法证明

• 当 $n=1$ 时，显然 $\mathbb P(A_1) \le \mathbb P(A_1)$

• 对于 $n$，如果有：${\mathbb P}\left (\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right ) \le \sum_{i=1}^{n} {\mathbb P}(A_i)$，则由 $\mathbb P(A \cup B) = \mathbb P(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$ 可知：

  $$\begin{split} \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i\right) =\mathbb{P}\left(\left\{\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right\} \bigcup A_{n+1}\right) &=\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)+\mathbb P\left(A_{n+1}\right) - \mathbb{P}\left(\left\{\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right\} \bigcap A_{n+1}\right)\\ &\leq \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)+\mathbb P\left(A_{n+1}\right) \end{split}$$

2. 将事件转换为独立事件（不相交事件）

假设有$A_1, A_2, A_3$ 三个事件，则：

• 令 $B_1=A_1, B_2 = A_2-A_1$，$B_1$ 与 $B_2$ 不相交
• 令 $B_2 = A_2-A_1$ $B_3=A_3-A_2-A_1$，$B_2$ 与 $B_3$ 不相交

令 $B_i=A_i\backslash \left(\bigcup_{k=1}^{i-1} A_i\right)$，则有 $B_1, B_2, \cdots,$ 互不相交，且 $A_1\cup A_2\cup \cdots=B_1\cup B_2\cup \cdots$，自然 $B_i\subset A_i$ ==> $P(B_i)\leq P(A_i)$：

$$\begin{split} \mathbb P \left(A_1\cup A_2\cup \cdots\right)&=\mathbb P\left(B_1\cup B_2\cup \cdots\right)=\mathbb P(B_1)+\mathbb P(B_2)+\cdots \\ &\leq \mathbb P(A_1)+\mathbb P(A_2)+\cdots \end{split}$$