2021寒假每日一题《数列》

数列

题目来源：NOIP2006普及组
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题目描述

给定一个正整数 $k$ ,把所有 $k$ 的方幂及所有有限个互不相等的 $k$ 的方幂之和构成一个递增的序列，例如，当 $k=3$ 时，这个序列是：

$1，3，4，9，10，12，13，\dots$

该序列实际上就是：$3^0，3^1，3^0+3^1，3^2，3^0+3^2，3^1+3^2，3^0+3^1+3^2，\dots$
请你求出这个序列的第 $N$ 项的值（ 用10进制数表示 ）。

例如，对于 $k=3，N=100$ 时，正确答案应该是 $981$ 。

输入格式

输入1行，为 $k$、$N$ 两个正整数，用一个空格隔开。

输出格式

输出一个正整数为计算结果（在所有的测试数据中，结果均不超过 $2.1\ast 10^9$ ）。
（整数前不要有空格和其他符号）。

数据范围

$3\le k\le 15$ ,
$10\le N\le 1000$

样例输入

3 100

样例输出

981

解题思路

继续延长题目给出的串为 $3^3，3^0+3^3，3^1+3^3，3^0+3^1+3^3，3^2+3^3，3^0+3^2+3^3，3^1+3^2+3^3，3^0+3^1+3^2+3^3，\dots$
即： $3，03，13，013，23，023，123，0123，\dots$
规律并不是按多项式的项数来排列的，所以无法用排列数算出具体的项数。

第一个思路：

3的次方上面观察规律，即对 $0，1，01，2，02，12，012，\dots$ 观察。
因为每一个次方的数在一项中仅出现一次，用二进制从右往左看，第几位有则第几位为1，其它位为0，比如第一项是 $0$，看成二进制从右往左第0位为1，即二进制的 $1$ ；第二项是 $1$ ，看成二进制从右往左第1位为1，即二进制的 $10$ 。
所以上面的串可以转换为 $1，10，11，100，101，110，111，\dots$
然后发现这段就是二进制的 $1，2，3，4，5，6，7，\dots$
所以第100项为：$1100100$，即 $2，5，6$ ，所以答案为 $3^2+3^5+3^6=981$

第二个思路：

观察数列 $1，3，4，9，10，12，13，\dots$ 发现：
其用三进制的表示为 $1，10，11，100，101，110，111，\dots$
然后发现这段就是二进制的 $1，2，3，4，5，6，7，\dots$
由此得到题解，将输入的 $N$ 用二进制的形式表示出来，然后再将其用 $k$ 进制展开转换为10进制。

解题代码-Java

import java.util.Scanner;

public class Main {
    
    
    public static void main(String[] args) {
    
    
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        int k = input.nextInt();
        String n = Integer.toBinaryString(input.nextInt());
        input.close();

        int j = n.length() - 1;
        int ans = 0;
        for (char ch : n.toCharArray()) {
    
    
            if (ch == '1') {
    
    
                ans += Math.pow(k, j);
            }
            j--;
        }
        System.out.println(ans);
    }
}