【NOIP2018提高组Day1T2】货币系统

题面

Description

在网友的国度中共有 n 种不同面额的货币，第 i 种货币的面额为 a[i]，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 n、面额数组为 a[1…n] 的货币系统记作 (n,a)。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 x 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 x，都存在 n 个非负整数 t[i] 满足 a[i]×t[i] 的和为 x。然而， 在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 x 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 n=3, a=[2,5,9] 中，金额 1,3 就无法被表示出来。

两个货币系统 (n,a)和 (m,b) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 x，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 (m,b)，满足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a) 等价，且 m 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 m。

Input

输入文件的第一行包含一个整数 T，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 T 组数据。 每组数据的第一行包含一个正整数 n。接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。

Output

输出文件共有 T 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 (n,a) 等价的货币系统 (m,b) 中，最小的 m。

Sample Input

2
4
3 19 10 6
5
11 29 13 19 17

Sample Output

2
5

Data Constraint

Hint

在第一组数据中，货币系统 (2,[3,10])和给出的货币系统 (n,a) 等价，并可以验证不存在 m<2的等价的货币系统，因此答案为 2。
在第二组数据中，可以验证不存在 m<n的等价的货币系统，因此答案为 5。

思路

一道动态规划题。
对于一个$a_i$如果能用$a_j,a_{j1}.......$表示出来，那么这个$a_i$就是没有意义的，因为它能表示的数，其它数都能表示。
能么问题就转化成：

求有多少个$a_i$是没有意义的。

记答案为$ans$，那么最小的m就为$n-ans$。

---

设$f_i$为数i能否分解。
可得$f_i=max(f_i,f_{i-a_j})$。

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define clear(x) memset(x,0,sizeof(x))
using namespace std;
int t,n,a[105],f[100005],bz[100005];
void qsort(int l,int r)
{
    
    
	int i=l,j=r,mid=a[l+r>>1];
	while(i<=j)
	{
    
    
		while(a[i]<mid) i++;
		while(a[j]>mid) j--;
		if(i<=j)
		{
    
    
			swap(a[i],a[j]);
			i++,j--;
		}
	}
	if(l<j) qsort(l,j);
	if(i<r) qsort(i,r);
}
int main()
{
    
    
	freopen("money.in","r",stdin);
	freopen("money.out","w",stdout);
	scanf("%d",&t);
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
    
    
		clear(f);clear(bz);
		scanf("%d",&n);
		int ans=n;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			scanf("%d",&a[j]),f[a[j]]=1,bz[a[j]]=1;
		qsort(1,n);
		for(int j=1;j<=n;j++)
			for(int k=a[j]+1;k<=a[n];k++)
				if(bz[k]) f[k]=max(f[k],f[k-a[j]]+1);
				else f[k]=max(f[k-a[j]],f[k]);
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(f[a[j]]>1) ans--;
		printf("%d\n",ans);
	}
}