【ACWing】900. 整数划分

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/902/

给定一个正整数$n$，问其表示为若干正整数之和的方案数，即问$n=n_1+n_2+...+n_k,n_1\ge n_2\ge ...\ge n_k,k\ge 1$的取法数（即与顺序无关）。

数据范围：
$1\le n\le 1000$

可以看成是完全背包问题，相当于问有$n$个不同物品，每个物品体积是$1,2,...,n$，问恰好塞满容量是$n$的背包有多少个方案。思路是动态规划，设$f[i][j]$是只选$1\sim i$这几个物品的情况下，塞满容量是$j$的背包的方案数，那么可以按照$i$这个物品选不选来分类，如果不选，那方案数就是$f[i-1][j]$，否则，方案数就是$f[i][j-i]$，所以 f [ i ] [ j ] = max ⁡ { f [ i − 1 ] [ j ] , f [ i ] [ j − i ] } f[i][j]=\max\{f[i-1][j],f[i][j-i]\} f[i][j]=max{ f[i−1][j],f[i][j−i]}可以做空间优化，只存一行的值，并且每行从左到右遍历（$f[i][j]$要用到当前行左边的值）。初始值是$f[0][0]=1$，$f[0][.>0]=0$，最后答案是$f[n][n]$。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;
int f[N];

int main() {
    
    
    int n;
    cin >> n;

    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = i; j <= n; j++)
            f[j] = (f[j] + f[j - i]) % mod;

    cout << f[n] << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(n^2)$，空间$O(n)$。

还可以采取另一种思路，设$f[i][j]$是$i$能表示为$j$个$1\sim n$的正整数之和的方案数，那么可以按照划分的最小整数来分类。如果最小整数是$1$，那么去掉这个$1$，就相当于是将$i-1$划分为$j-1$个正整数的方案数，是$f[i-1][j-1]$；如果最小整数大于$1$，则将划分每个数都减去$1$，就得到了$i-j$划分为$j$个数的方案数，是$f[i-j][j]$。所以$$f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j]$$最后答案是${\sum }_{j=1}^{n}f[n][j]$。初始条件$f[0][0]=1$，$f[0][.>0]=0$。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;
int f[N][N];

int main() {
    
    
    int n;
    cin >> n;

    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j]) % mod;

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
		res = (res + f[n][i]) % mod;

    cout << res << endl;

    return 0;
}

时空复杂度$O(n^2)$。