题目描述：
一个正整数n可以表示成若干个正整数之和，形如：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk,k≥1。
我们将这样的一种表示称为正整数n的一种划分。
现在给定一个正整数n，请你求出n共有多少种不同的划分方法。
输入格式
共一行，包含一个整数n。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示总划分数量。
由于答案可能很大，输出结果请对10^9+7
取模。
数据范围
1≤n≤1000
输入样例:
5
输出样例：
7
分析：
本题要求我们对整数进行划分，且次序不重要，也就是说1 2 3与3 2 1被视为一种划分方案。正整数n，可以划分为若干个1，若干个2，...。
方法一：
类似于完成背包问题，每个数可以选无限次，但是总和不能超过n,不同的是，完全背包问题是求选法中最小的代价，而整数划分是要求划分总的方案数。设f[i][j]表示在1到i中选出总和为j的方案数，则数字i可以选择0到k次，f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j - i] + ... + f[i-1][j-ki],j >= ki。又f[i][j - i] = f[i - 1][j - i] + f[i-1][j-2i] + ... + f[i-1][j-ki]，从而f[i][j] = f[i][j-i] + f[i-1][j]。使用滚动数组实现得到状态转移方程为f[i] = f[j-i] + f[i]。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1005,mod = 1e9 + 7;
int f[maxn];
int main(){
int n;
cin>>n;
f[0] = 1;
for(int i = 1;i <= n;i++){
for(int j = i;j <= n;j++){
f[j] = (f[j] + f[j - i]) % mod;
}
}
cout<<f[n];
return 0;
}方法二：
f[i][j]表示总和为i，划分为了j个数的方案数。状态划分可标识为这j个数中是否包含了1；如果包含1，则f[i][j] = f[i-1][j-1]，即方案数等于去掉一个1后的方案数，j - 1个数总和是i - 1；如果这j个数中不包含1，则f[i][j] = f[i - j][j]，即方案数等于将j个数每个都减去1后构成总和为i - j的方案数。因此可以得到状态转移方程为f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-j][j]。最后的解为f[n][1] + ... + f[n][n]，即所有能构成总和是n的划分方案的和。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1005,mod = 1e9 + 7;
int f[maxn][maxn];
int main(){
int n;
cin>>n;
f[0][0] = 1;
for(int i = 1;i <= n;i++){
for(int j = 1;j <= i;j++){
f[i][j] = (f[i-1][j-1] + f[i-j][j]) % mod;
}
}
int res = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++) res = (res +f[n][i]) % mod;
cout<<res;
return 0;
}