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前言
本文讲述快速幂的原理，以及用法
一、快速幂（Fast Exponentiation）的定义：
定义：快速求，取base为底数的exp次幂，即求：baseexp；
时间复杂度： O(log₂N)
二、快速幂原理：
思想：每一步都把指数分成两半，而相应的底数做平方运算。不仅能把非常大的指数给不断变小，所需要执行的循环次数也变小，而最后表示的结果却一直不会变。
原理：(a* b) % m = ((a % m) * (b % m)) % m
三、常规求幂：
代码块：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll Pow1(ll my_base, ll my_exp) {
ll ans = 1;
for (int i = 1; i <= my_exp; i++) ans *= my_base;
return ans;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); //断开同步流
ll my_base, my_exp, result;
clock_t my_start, my_end;
cin >> my_base >> my_exp;
my_start = clock();
//该函数返回值是硬件滴答数
result = Pow1(my_base, my_exp);
cout << my_base << "^" << my_exp << "=" << result << endl;
my_end = clock();
cout << "time=" << ((double)my_end - my_start) / CLK_TCK << "s" << endl;
//要换算成秒，需要除以CLK_TCK或者 CLK_TCKCLOCKS_PER_SEC
return 0;
}
运行结果：
四、简单快速求幂：
代码块：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll Pow2(ll x, ll y) {
ll ans = 1, base = x;
while (y != 0) {
if (y % 2 != 0) ans *= base;
base *= base;
y /= 2;
}
return ans;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); //断开同步流
ll my_base, my_exp, result;
clock_t my_start, my_end;
cin >> my_base >> my_exp;
my_start = clock();
//该函数返回值是硬件滴答数
result = Pow2(my_base, my_exp);
cout << my_base << "^" << my_exp << "=" << result << endl;
my_end = clock();
cout << "time=" << ((double)my_end - my_start) / CLK_TCK << "s" << endl;
//要换算成秒，需要除以CLK_TCK或者 CLK_TCKCLOCKS_PER_SEC
return 0;
}
运行结果：
四、递归快速求幂：
代码块：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll Pow3(ll my_base, ll my_exp) {
if (my_exp == 1)return my_base;
ll ans = Pow3(my_base, my_exp / 2);
return (my_exp % 2 == 0 ? 1 : my_base) * ans * ans;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); //断开同步流
ll my_base, my_exp, result;
clock_t my_start, my_end;
cin >> my_base >> my_exp;
my_start = clock();
//该函数返回值是硬件滴答数
result = Pow3(my_base, my_exp);
cout << my_base << "^" << my_exp << "=" << result << endl;
my_end = clock();
cout << "time=" << ((double)my_end - my_start) / CLK_TCK << "s" << endl;
//要换算成秒，需要除以CLK_TCK或者 CLK_TCKCLOCKS_PER_SEC
return 0;
}
运行结果：
五、位运算快速求幂：
代码块：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll Pow3(ll my_base, ll my_exp) {
int ans = 1, base = my_base;
while (my_exp != 0) {
if (my_exp & 1 != 0)
{
//逐位获取b的二进制位，遇0累乘
ans *= base;
}
base *= base;
my_exp >>= 1;
}
return ans;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); //断开同步流
ll my_base, my_exp, result;
clock_t my_start, my_end;
cin >> my_base >> my_exp;
my_start = clock();
//该函数返回值是硬件滴答数
result = Pow3(my_base, my_exp);
cout << my_base << "^" << my_exp << "=" << result << endl;
my_end = clock();
cout << "time=" << ((double)my_end - my_start) / CLK_TCK << "s" << endl;
//要换算成秒，需要除以CLK_TCK或者 CLK_TCKCLOCKS_PER_SEC
return 0;
}
运行结果：
六、高精度快速求幂：
代码块：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e7; //自定义取模的数据,视数据大小的情况而定
//a ^ b
ll ksm(ll a, ll b, ll mod) {
//time_complex=O(logn)
ll ans = 1, base = a;
while (b != 0) {
if ((b & 1) != 0) {
//“b & 1”指取b的二进制数的最末位
ans = (ans * base) % mod; //累乘，以便随时对ans做出贡献。
}
base = (base * base) % mod;
b >>= 1; //右移1位，删去最低位。
}
return ans;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); //断开同步流
ll a, b, result;
clock_t my_start, my_end;
cin >> a >> b;
my_start = clock();
//该函数返回值是硬件滴答数
result = ksm(a, b, mod);
cout << a << "^" << b << "=" << result << endl;
my_end = clock();
cout << "time=" << ((double)my_end - my_start) / CLK_TCK << "s" << endl;
//要换算成秒，需要除以CLK_TCK或者 CLK_TCKCLOCKS_PER_SEC
return 0;
}
运行结果：
六、python高精度快速求幂：
代码块：
a, b = map(int, input().split())
mod = 10000000
result = pow(a, b, mod)
print("{0}^{1}={2}".format(a, b, result))
运行结果：
七、实战演习：
题目来源：
https://ac.nowcoder.com/acm/problem/213988
程序代码：
第一种写法：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
/*long long qmod(ll a,ll b,int c)
{
if(b==1) return a;
if(b&1) return a*qmod(a,b-1,c)%c;
else
{
ll m=qmod(a,b/2,c);
return m*m%c;
}
} *///用二分还是超时
ll qmod(ll a,ll b,ll c)//快速幂
{
int r=1;
while(b)
{
if(b&1) r=a*r%c;
a=a*a%c;
b>>=1; //b的二进制形式删除最后一位
}
return r;
}
int main()
{
long long a,b,c;
c=998244353;
cin>>a>>b;
if(a>c) a=a%c;
else
{
ll ans=qmod(b+1,a,c);
cout<<ans<<endl;
}
}
第二种写法：
n, m = map(int, input().split())
sum = pow(m+1,n,998244353)
print(sum)
运行结果：
总结
本文讲述快速幂的基本用法。
如有错误，敬请指教！