参考资料：
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根据前面两篇文章，我们已经知道鱼眼矫正最重要的函数是fisheye::initUndistortRectifyMap()，它能得到map1矩阵，其作用是：
map1是一个2通道矩阵，它在(i, j)处的二维向量元素
(u, v) = (map1(i, j)[0], map1(i, j)[1])的意义如下：
将畸变图像中(u, v) = (map1(i, j)[0], map1(i, j)[1])的元素，复制到(i, j)处，就得到了无畸变图像。
那么，fisheye::initUndistortRectifyMap()是如何根据(i, j)算出(u, v)的呢？
OpenCV官方给出了如下公式：
其中，(i, j)是无畸变图的像素坐标，而式①中的(i, j, 1)是(i, j)的齐次坐标；
式①的iR是相机内参的逆。
而最后式⑦中的(u, v)，就是无畸变图中(i, j)位置对应的畸变图中的点(u, v)。
下面对以上公示做详细介绍。
一、鱼眼矫正原理讲解
1. 像素坐标转化为相机坐标
在阅读本节前，请先学习世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系之间的转换关系，本节认为读者已掌握基础知识。
首先，我们知道相机坐标系到像素坐标系的转化关系如下：
注：
下面统一将“现实三维世界中的点在相机坐标系下的坐标”简写做“相机坐标”；将“二维图片中的像素坐标系下的坐标”简写作“像素坐标”。
在上述式①中，iR是内参矩阵的逆，则可式①得到的[Xc, Yc, Zc]，实际上是真正的相机坐标的归一化坐标，即：
然而，我们用[Xc, Yc, Zc]，只是用到了它们之间的比例关系。因此，到底是否经过了归一化，其实并不重要，因为比例关系都一样。
至此，我们根据无畸变图中的像素坐标(i, j)，得到了它在无畸变条件下，本应该对应的归一化相机坐标(Xc, Yc, Zc)。
2. 无畸变相机坐标 与 畸变后相机坐标 的 对应关系
假设现实世界中一点(x, y, z)在相机坐标系下的位置如下图所示，那么，根据上式②③④，我们得到的theta = atan(r)实际上就是入射角，即 点(x, y, z)与相机中心的连线 与 相机光轴(Z轴) 的夹角。如下：
图中，左下角的theta1由atan(r)计算得来，而右边的theta2是点(x, y, z)的入射角，它与左下角的theta1角度相等。
有的读者会问，图中标注的是真正的相机坐标，而我们上面式子中的是归一化后的相机坐标，算出来的theta能一样吗？答案是肯定的。观察发现，我们用到的只是x、y、z之间的比例关系，而不管归一化与否，它们的比例关系都是一样的。
至此，不论是像素坐标(i, j)，还是相机坐标(x, y, z)，亦或是入射角theta = theta1 = theta2，我们计算的都是无畸变情况下的值。
然后，下一步将是无畸变与畸变的分界点！
根据Juho Kannala 和 Sami S. Brandt的大作 《A Generic Camera Model and Calibration Method for Conventional, Wide-Angle, and Fish-Eye Lenses》，我们可以由无畸变的入射角theta，配合畸变系数，得到畸变后的r！为了将这个r与无畸变时的r区分，我们把这个畸变后的r记作r_d(d表示畸变)。
即，r_d = k1 · theta + k2 · theta ^ 3 + k3 · theta ^ 5 + k4 · theta ^ 7 + k5 · theta ^ 9
这也就是式⑤。
至此，我们就得到了畸变情况下的r_d。
畸变点的意义如下所示：
在无畸变情况下，上图中，无畸变图中的黑色像素点，应该由现实世界中黑色的无畸变点投影而来；
但是，在鱼眼畸变情况下，上图中，无畸变图中的黑色像素点，应该对应着现实世界中的红色点投影而来。
那么，我们只要找到红色点在畸变图中的位置，然后把它放到黑色无畸变像素点的位置就可以了。
现在，我们能得到红色点对应的r_d，以及黑色点对应的r，那么，令比例因子scale = r_d / r，那么scale · a就应该是红色点在x方向的相机坐标，scale · b就应该是红色点在y方向的相机坐标。
得到了红色点的相机坐标，再根据像素坐标 = 内参 x 相机坐标，就能得到现实世界中红色点对应的畸变图像中的像素坐标，即式⑦。如下：
**至此，我们就从最开始的无畸变图中的像素点(i, j)，经过一路推导，推算到了它对应的畸变图中的像素点(u, v)，只要把(u, v)像素复制到(i, j)处，就能得到矫正后的图像。
注：
其实博主对于比例因子scale的原理和作用并不是很清楚，至于为什么 “scale · a就应该是红色点在x方向的相机坐标、而scale · b就应该是红色点在y方向的相机坐标” 也没太搞明白。但这一定是有原理可循的，也希望看到这里的读者能在评论区答疑解惑。