剑指Offer 43. 1~n整数中1出现的次数
输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。
例如，输入12，1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/1nzheng-shu-zhong-1chu-xian-de-ci-shu-lcof
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。
转载自我的LeetCode题解
这是一道典型的数位动态规划题，掌握了数位动态规划的思想和模板后可以秒杀。
首先，使用暴力枚举、拆分所有数字的解法超时。于是，可以从改进枚举的角度来更新算法。
以12345为例，要枚举这么多数，可以这样做：从最高位开始，当最高位为0时（即最高位没有达到它的上界1），后面的一位数字可以取从0到9的数字；当最高位为1时（即最高位达到了它的上界1），后面的一位数字只能取从0到2的数字（因为2是这位数字的上界）。依此类推，可以枚举完所有的数字。这样，我们就理解了数位动态规划的第一步，暴力枚举数字。很明显，在枚举的过程中，我们要标记前面的数位是否到达了上界，来决定当前数位的枚举范围。
这样做有一个很核心的好处，即本质上是按位枚举，省去了原来的拆分数字的过程，即只要某一位枚举到了1，我们就对总数+1。
再进一步，单纯的递归写法会超时，因为有许多计算是重复的，所以在递归的过程中，记录每次的结果，需要用的时候直接拿来使用。空间换时间。于是，需要数组来寄存中间结果。这里要明白数组是来寄存对应的一次递归的结果，而递归函数是有参数的，因此把参数作为数组的下标来标记这一次递归的结果。
详细代码如下：
class Solution {
private int[][][] dp = null;
private int[] upperBound = null;
public int countDigitOne(int n) {
String string = String.valueOf(n);
char[] chars = string.toCharArray();//实现对n的从最高位到最低位数位拆分
int length = chars.length;
upperBound = new int[length];//upperBound数组记录从n的最低位到最高位，每一位数字的上限
for(int i = 0; i < length; ++i) {
upperBound[i] = chars[length - 1 - i] - '0';//初始化upperBound数组，注意下标的变换，因为记录的是从n的最低位到最高位的数字上限
}
dp = new int[length][2][length];//int[pos][limit][sum]，下标对应dfs的参数，标识、记录中间结果
for(int i = 0; i < length; ++i) {
for(int j = 0; j < 2; ++j) {
Arrays.fill(dp[i][j], -1);//初始化dp数组，用-1表示对应的dfs有没有执行过
}
}
return this.dfs(length - 1, 1, 0);
}
private int dfs(int pos, int limit, int sum) {
//pos与upperBound的下标对应
if(pos == -1) return sum;//递归结束，返回sum
if(dp[pos][limit][sum] != -1) return dp[pos][limit][sum];//对应的dfs执行过了，就直接返回以前算过的值，空间换时间，节省时间开销
int maxNum = (limit == 1) ? upperBound[pos] : 9;//当前第pos位的数有上界要求，取上界数字，否则取9
int res = 0;
for(int i = 0; i <= maxNum; ++i) {
//对当前第pos位的数字进行枚举，范围从0到maxNum
//考虑低一位的数字：当当前第pos位有上界且达到了上界，低一位数字才有上界；
//当当前第pos位为1时，1出现的次数加1，因此sum需要加1
res += dfs(pos - 1, ((limit == 1) && (i == maxNum)) ? 1 : 0, (i == 1) ? sum + 1 : sum);
}
return dp[pos][limit][sum] = res;//标识、记录res，并返回res
}
}