传染病模型简介 + SIS情况分析
简介
研究传染病模型，对社会经济和维持秩序有重大意义，尤其在过去的2020年，新冠疫情爆发。从数学领域对疫情进行分析，根据经典的传染病模型，考虑新的因素，加入新的变量，也是疫情追踪和防控的一种有力手段。
最近刚好有机会用到传染病模型，趁此机会先对其有一个大致的了解。
常见的传染病模型按照具体的传染病的特点可分为 SI、SIS、SIR、SIRS、SEIR 模型。其中“S”、“E”、“I”、“R”的现实含义如下：
S (Susceptible)，易感者，指缺乏免疫能力健康人，与感染者接触后容易受到感染；
E (Exposed)，暴露者 ，指接触过感染者但暂无传染性的人，可用于存在潜伏期的传染病；
I (Infectious)，患病者，指有传染性的病人，可以传播给 S，将其变为 E 或 I ；
R (Recovered/Resistance)，康复者/抵抗者，指病愈后具有免疫力的人，如是终身免疫性传染病，则不可被重新变为 S 、E 或 I ，如果免疫期有限，就可以重新变为 S 类，进而被感染。
若是致死性疾病, 一般的做法认为死者也算进R项里,。当死者妥善处理以后无法被感染也无法感染别人时, 和恢复者的传播性质一样。
根据病种的不同，可以选用不同的基础模型，在此基础上可以优化和拓展。如在新冠病毒预测模型中增加诸如病床资源、药物资源、加入隔离等变量，或是放入空间网络，以实现更符合现实的时空和空间的预测。
各类经典传染病模型（基础形式）
-
SIS
如普通流感，流感变异性很强，大部分人都几乎会再次患流感。
N = S + I -
SIR
急性传染病发病迅速, 没有潜伏期, 发病后一段时间痊愈。
N = S + I + R -
SEIR
常规的传染病带潜伏期，其历程为：潜伏, 感染, 然后痊愈。其数学模型比较复杂, 且没有显式解, 所以一般通过名为相轨线的方式来研究。
N = S + E + I + R
SIS
根据前面的简介，可以得知像普通流感、细菌性痢疾这样治愈后免疫力很低或因其他因素易再感染的疾病，都能用SIS进行分析。此外，传染病模型也可以应用于其他领域，如网络谣言（rumour）或毒品传播等问题。
模型假设
- 易感者与患病者有效接触即被感染，变为患病者，可被治愈再次变为易感者，无潜伏期、无免疫力；
- 总人数为N，不考虑人口的出生与死亡，迁入与迁出，此总人数不变；
- 以一天作为模型的最小时间单元。
符号说明
- t 时刻各类人群占总人数的比率分别记为s(t)、i(t)；
- 每一个时刻的每个感染者（这里感染者作为主体）有λ 的平均概率把毒传染给邻居，前提是邻居属于S群体；
- 初始时刻 t=0 时，各类人数量所占初始比率为s0、i0；
- 每天被治愈的患病者人数占病人总数的比率为 μ ，即日治愈率；注意的是，患病者被治愈后成为易感者，且1/μ 为该传染病的平均传染期，即从患病到治愈的天数;
- μ，v = 0
- 以一天作为模型的最小时间单元，套入上面提到的各概率因子。
注意，这是一个可以演变的概率模型。而S中个体的传染能力，以概率形式体现，且先不考虑一人传多人。
微分方程组
由前面提到的条件，可得微分方程组：
s(t) + i(t) = 1 —(3)
(1)左右式表示 t时刻下日变化感染人数，其中N = S + I（大写），即该模型范围内总人口。Ni(t)λs(t)的意思是，一共有N i(t)个患者，每个人有 λ 的比率感染别人，那么被感染的人的概率就有λ s(t) 。
模型结论
经典传染病模型的缺陷
当情况细化且复杂化时，想要提高模型的性能，首先需要看到经典传染病模型的不足。
由前面提到的可知，通过对 SIS、SIR、SEIR 等基础模型的研究, 可以预测一个封闭地区疫情的爆发情况, 最大峰值, 感染人数等等。
然而，显然没有任何地区是封闭的，正如我们不能天真指望把病毒锁死在武汉以尽快掐灭这把火，不使其跨外传播。这时，就要引入网络结点模型，把各个地区看成图的节点,每个节点各自跑各自的SEIR模型。一个经典的做法是用马尔可夫转移来刻画地区之间的流动，对每个结点单独跑 SEIR 模型。
一般认为，当我们开始把问题个体置入与外部相联系的一张网络时，需同时考虑内外因素。常见的内部因素有当地面积、当地的事件相关资源等，常见的外部因素有相对距离、外部区域人口、外部区域人口流动等等。
我们现在知道，经典的基础模型难以刻画地理因素，而这只是不足之一。当我们解决实际问题时，还有许多待完善的地方。这里，先补充常见的两点不足：
1.无法刻画超级传播者：原模型中的感染率只考虑了平均值。尤其是在病毒传播初期，要做的恰恰是充分考虑超级传播者的影响。
2.潜伏期问题：病人在潜伏期内，也可能具有传染性。
参考知乎答主Matthew zz，对于SIR模型，有一种解法：
图4中x(t), y(t), z(t)分别对应着S(t), I(t), R(t)；而
就是时间滞后。