连通图：任意两个定点间有通路
判定：G=（V,E）是（p，q）图
1.充分:
∀ u , v ∈ V , d e g ( u ) + d e g ( v ) ≥ p − 1 \forall u,v \in V,deg(u)+deg(v) \geq p-1 ∀u,v∈V,deg(u)+deg(v)≥p−1
证 明 1 ： 反 证 ， 假 设 不 联 通 ， 则 G 至 少 有 两 个 支 G 1 = ( V 1 , E 1 ) , 剩 下 的 记 为 G 2 = ( V 2 , E 2 ) 设 ∣ V 1 ∣ = n , ∣ V 2 ∣ = p − n , d e g ( v 1 ) ≤ n − 1 , d e g ( v − 2 ) ≤ p − n − 1 d e g ( v 1 ) + d e g ( v 2 ) ≤ p − 2 矛 盾 证明1：反证，假设不联通，则G至少有两个支G_1=(V_1,E_1),剩下的记为G_2=(V_2,E_2)\\ 设|V_1|=n,|V_2|=p-n,\\ deg(v_1) \leq n-1,deg(v-2) \leq p-n-1\\ deg(v_1)+deg(v_2) \leq p-2 矛盾 证明1：反证，假设不联通，则G至少有两个支G1=(V1,E1),剩下的记为G2=(V2,E2)设∣V1∣=n,∣V2∣=p−n,deg(v1)≤n−1,deg(v−2)≤p−n−1deg(v1)+deg(v2)≤p−2矛盾
证 明 2 ： 演 绎 ： 证明2：演绎： 证明2：演绎：
如 果 上 式 成 立 ， 则 ∃ w ∈ V , s . t . u w ∈ E , v w ∈ E 如果上式成立，则 \exists w\in V,s.t. uw \in E,vw \in E 如果上式成立，则∃w∈V,s.t.uw∈E,vw∈E
假 设 不 存 在 w , 设 d e g ( u ) = k ， d e g ( v ) ≤ p − 2 − k , 则 d e g ( u ) + d e g ( v ) ≤ p − 2 , 矛 盾 假设不存在w,设deg(u)=k，deg(v)\leq p-2-k,则deg(u)+deg(v)\leq p-2,矛盾 假设不存在w,设deg(u)=k，deg(v)≤p−2−k,则deg(u)+deg(v)≤p−2,矛盾
推 论 ： 如 果 ∀ v ∈ V , d e g ( v ) ≥ ⌈ p 2 ⌉ ， 则 图 联 通 推论：如果\forall v \in V,deg (v) \geq\lceil \frac{p}{2} \rceil，则图联通 推论：如果∀v∈V,deg(v)≥⌈2p⌉，则图联通
判定图是否有环路
G = （ V , E ） ， d e g ( v ) > 0 , G 中 每 个 顶 点 的 度 数 为 偶 数 ， 则 G 中 有 环 G=（V,E），deg(v)>0,G中每个顶点的度数为偶数，则G中有环 G=（V,E），deg(v)>0,G中每个顶点的度数为偶数，则G中有环
证 明 ： 最 长 路 法 ， 设 最 长 路 为 v 1 , v 2 , … … ， v n ， 并 且 ∃ v i , s . t . v 1 , v i ∈ E ( 3 ≥ i ≤ n ) 证明：最长路法，设最长路为v_1,v_2,……，v_n，并且\exists v_i,s.t. v_1,v_i\in E(3\geq i \leq n) 证明：最长路法，设最长路为v1,v2,……，vn，并且∃vi,s.t.v1,vi∈E(3≥i≤n)
则 v 1 , v 2 … … ， v i , v 1 为 环 则 v_1,v_2……，v_i,v_1为环 则v1,v2……，vi,v1为环
正则图和完全图
正则
正则：regular，有规律的，有规则的。
正则表达式，又称规则表达式。（英语：Regular Expression）
百度：正则图是指各顶点的度均相同的无向简单图
在图论中，正则图中每个顶点具有相同数量的邻点； 即每个顶点具有相同的度。 正则的有向图也必须满足更多的条件，即每个顶点的内外自由度都要彼此相等。具有k个自由度的顶点的正则图被称为k度的k-正则图。 此外，奇数程度的正则图形将包含偶数个顶点。
G = ( V , E ) , i f v ∈ V , d e g ( v ) = r , 则 称 G 为 r − 正 则 图 G=(V,E),if v\in V,deg(v)=r,则称G为r-正则图 G=(V,E),ifv∈V,deg(v)=r,则称G为r−正则图
假 设 G 是 一 个 （ p , q ） 图 ( 即 G 是 一 个 具 有 p 个 顶 点 q 条 边 的 图 。 ) , 则 ( p − 1 ) 正 则 图 称 为 完 全 图 ， 记 为 K p 假设G是一个（p,q）图(即 G 是一个具有 p 个顶点 q 条 边的图。 ),则(p-1)正则图称为完全图，记为K_p 假设G是一个（p,q）图(即G是一个具有p个顶点q条边的图。),则(p−1)正则图称为完全图，记为Kp
结 婚 问 题 中 的 双 图 ， 完 全 图 则 记 为 K m , n 结婚问题中的双图，完全图则记为K_{m,n} 结婚问题中的双图，完全图则记为Km,n