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64bit IO Format: %lld
题目描述
巨佬 lzy\text{lzy}lzy 闲来无事，给了蒟蒻 brz\text{brz}brz 一个长度为 n 的序列 a，并且允许蒟蒻操作这个序列，巨佬 lzy\text{lzy}lzy 定义，一次操作要选定一个 i∈(1,n)i\in(1,n)i∈(1,n)，然后将序列中第 i 个数变成与它相邻的两个数的平均数，即 ai=ai−1+ai+12a_i=\dfrac {a_{i-1}+a_{i+1}} 2ai=2ai−1+ai+1。
蒟蒻 brz\text{brz}brz 想要将序列的总和变得最小，但是又不太会操作，也不敢在巨佬的面前吱声，于是只好偷偷向你询问：在可以进行无限次任意位置的操作的情况下，能得到的序列最小总和是多少？
输入描述:
第一行一个整数n，表示序列长度。
第二行n个整数，表示这个序列。
1≤n≤106,1≤ai≤1091\leq n\leq 10^6,1\leq a_i\leq 10^91≤n≤106,1≤ai≤109
输出描述:
输出一个实数，表示能得到的序列最小总和，保留到小数点后十位。示例1
输入
3
1 2 2输出
4.5000000000说明
操作一次序列的第二个数，使其变成1+2=1.5，序列总和就是1+1.5+2=4.5，可以证明序列总和无法变得更小。思路：
可以发现当一个区间变成等差数列时就不能再变小了，问题进一步转化为从原序列中选择一些区间将其变为等差数列。
并不是任意区间变成等差数列时的和最小，只有除首尾以外的数都大于等差数列上对应的数时，原区间的和才会是最小值。
把序列中的数 抽象为坐标系中的点
，问题转化为了求下凸壳，（由于原序列已经按x坐标排序，所以本题不需要提前极角排序
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double eps = 1e-11;
const int N = 1e6 + 10;
int sgn(double x) {
if(fabs(x) < eps) return 0;
if(x < 0) return -1;
else return 1;
}
struct Point
{
double x, y;
Point(){}
//定义运算
Point(double _x, double _y) {
x = _x;
y = _y;
}
bool operator == (Point b) const {
return sgn(x - b.x) == 0 && sgn(y - b.y) == 0;
}
bool operator < (Point b) const {
return sgn(x - b.x) == 0 ? sgn(y - b.y) < 0 : x < b.x;
}
Point operator - (const Point &b) const {
return Point(x - b.x, y - b.y);
}
double operator ^ (const Point &b) const {
return x * b.y - y * b.x;
}
} p[N], st[N];
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
scanf("%lf", &p[i].y);
p[i].x = 1.0 * i;
}
int top = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
while(top > 1 && ((p[i] - st[top - 1]) ^ (st[top] - st[top - 1])) > 0.0) --top;
st[++top] = p[i];
}
double ans = 0.0;
for(int i = 2; i <= top; ++i)
ans += 1.0 * (st[i].y + st[i - 1].y) * (st[i].x - st[i - 1].x + 1) / 2.0 - st[i].y;
ans += st[top].y;
printf("%.10f\n", ans);
return 0;
}