【统计学笔记】第四章 数据的概括性度量

第四章 数据的概括性度量

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4.1 集中趋势的度量

4.1.1 分类数据：

• 众数（$M_o：mode$）：一组数据中出现次数最多的变量值。

4.1.2 顺序数据：

• 中位数（$M_e：median$）：是一组数据排序后处于中间位置上的变量值。
  • 中位数位置 $pos=\frac{n+1}{2}$，$$M_e=\{\begin{array}{rlr}& pos位上的值& ，n为奇数；\\ & & \\ & 对pos向上、向下取整& \\ & 的两个位置数的平均数& ，n为偶数；\end{array}$$
• 四分位数（$Q_L$，$Q_U$）：一组数据排序后处于25%和75%位置上的值。
  • 下四分位数（$Q_L：quartilelow$）
  • 上四分位数（$Q_U：quartileup$）
  • 四分位数的位置 $pos：$
    
  • 四分位数的取值：
    • 在整数位置上：就是该位置上的值；
    • 在0.5的位置上：对pos向上、向下取整的两个位置数的平均值；
    • 在0.25或0.75的位置上：对pos向下取整的数 + (对pos向上取整的数 - 对pos向下取整的数) * 0.25或0.75

4.1.3 数值型数据：

• 平均数（$\bar{x}$）：
  • 简单平均数 ：
  • 加权平均数（$M_i$是各组的组中值，200~250组中值就是225；$f_i$是各组变量值出现的频数）：
  • 几何平均数（$G：geometricmean$）：主要用于计算平均比率
    

4.1.4 众数和中位数和平均数的比较：

• 左偏分布（平均数$\bar{x}$最小，众数$M_o$最大，平均数＜中位数＜众数）；
• 右偏分布（平均数$\bar{x}$最大，众数$M_o$最小，众数＜中位数＜平均数）；
• 对称分布（三者相等，众数 = 中位数 = 平均数）
  

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4.2 离散程度的度量

4.2.1 分类数据：

• 异众比率（$V_r：variationrate$）：不是众数的数占总体数据的比率
  • 异众比率主要用于衡量众数对一组数据的代表性；
  • 异众比率适合测度分类数据的离散程度
    

4.2.2 顺序数据：

• 四分位差（$Q_d：quartiledeviation$）：
  • 四分位差反映了中间50%的数据的离散程度，数值越小说明数据越集中，数值越大说明说明数据月分散；
  • 四分位差主要用于测度数据的离散程度
    

4.2.3 数值型数据：

  自由度：样本个数-1，即 n-1；

1. 极差（$R：range$）：一组数据的最大值和最小值之差
   
2. 平均差：
   
3. 标准差和方差：

   1. 标准差（$s：standarddeviation$）：
      

   2. 方差（$s^2：varance$）：
      
      

4. 相对位置的度量
   1. 标准分数：变量值与其平均数的离差除以标准差以后的值。
      
      
   2. 经验法则：当一组数据对称分布时，在 $\pm 3$ 个标准差之外的数据，称为离群点。
      
   3. 切比雪夫不等式：对任何分布形态的数据都适用（非对称分布就用这个），至少有比例为$(1-\frac{1}{k^2})$的数据在 $\pm k$ 个标准差内（$k$是大于1的任意数）。
      

4.2.4 相对离散程度：

• 离散系数（$v_s：coefficientofvariation$）：也称为变异系数，是一组数据的标准差和其平均数之比。
  
  

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4.3 偏态与峰态的度量

4.3.1 偏态及其测度

• 偏态（$skewness$）：对数据分布对称性的测度；
• 偏态系数（$SK$）：测度偏态的统计量；

$$数据的分布：\{\begin{array}{ll}对称& ，SK=0\\ 非对称& ，SK\ne 0\{\begin{array}{ll}中等偏态分布& ，0.5<|SK|<1\\ 高等偏态分布& ，|SK|>1\end{array}\end{array}$$

$$数据的偏斜：\{\begin{array}{ll}左偏（负偏）& ，SK<0\\ 右偏（正偏）& ，SK>0\end{array}$$

4.3.2 峰态及其测度

• 峰态（$kurtosis$）：对数据分布平峰或尖峰程度的测度
• 峰态系数（$K$）：测度峰态的统计量
  
  
  $$峰态：\{\begin{array}{ll}扁平分布& ，K<0，\\ 正态分布& ，K=0，\\ 尖峰分布& ，K>0；\end{array}$$