二次同余式与平方剩余
4.1 一般二次同余式
定义 4.1.1
设 m m m是正整数。若同余式
x 2 ≡ a m o d m , ( a , m ) = 1 x^2\equiv a\mod m,\ (a,m)=1 x2≡amodm, (a,m)=1
有解，则 a a a叫做模 m m m的平方剩余(二次剩余)；否则， a a a叫做模 m m m的平方非剩余。
4.2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余
定理 4.2.1(欧拉判别条件)
设 p p p是奇素数， ( a , p ) = 1 (a,p)=1 (a,p)=1，则
-
a a a是模 p p p的平方剩余的充分必要条件是
a p − 1 2 ≡ 1 m o d p a^{\frac{p-1}{2}}\equiv1\mod p a2p−1≡1modp -
a a a是模 p p p的平方非剩余的充分必要条件是
a p − 1 2 ≡ − 1 m o d p a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\mod p a2p−1≡−1modp
推论 4.2.1
设 p p p是奇素数， ( a 1 , p ) = 1 , ( a 2 , p ) = 1 (a_1,p)=1,(a_2,p)=1 (a1,p)=1,(a2,p)=1，则
- 若 a 1 , a 2 a_1,a_2 a1,a2均为模 p p p的平方剩余，则 a 1 ⋅ a 2 a_1\cdot a_2 a1⋅a2为模 p p p的平方剩余。
- 若 a 1 , a 2 a_1,a_2 a1,a2均为模 p p p的平方非剩余，则 a 1 ⋅ a 2 a_1\cdot a_2 a1⋅a2为模 p p p的平方剩余。
- 若 a 1 , a 2 a_1,a_2 a1,a2一个为模 p p p的平方剩余，一个为模 p p p的平方非剩余，则 a 1 ⋅ a 2 a_1\cdot a_2 a1⋅a2为模 p p p的平方非剩余。
定理 4.2.2
设 p p p是奇素数，则模 p p p的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余的个数各为 p − 1 2 \frac{p-1}{2} 2p−1，且 p − 1 2 \frac{p-1}{2} 2p−1个平方剩余与序列
1 2 , 2 2 , ⋯ , ( p − 1 2 ) 2 1^2,2^2,\cdots,(\frac{p-1}{2})^2 12,22,⋯,(2p−1)2
与且只与一个数同余。
4.3 勒让德符号
定义 4.3.1 (Lengendre符号)
设 p p p为素数，定义勒让德符号为
( a p ) = { 1 , 若 a 是模 p 的平方剩余 − 1 , 若 a 是模 p 的平方非剩余 0 , p | a \left( \frac{a}{p} \right) = \begin{cases} 1, & \text{若$a$是模$p$的平方剩余}\\ -1, & \text{若$a$是模$p$的平方非剩余}\\ 0, & \text{$p$|$a$} \end{cases} (pa)=⎩⎪⎨⎪⎧1,−1,0,若a是模p的平方剩余若a是模p的平方非剩余p|a
定理 4.3.1 (欧拉判别法则)
若 p p p是奇素数，则对任意整数 a a a
( a p ) ≡ a p − 1 2 m o d p \left( \frac{a}{p} \right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}}\mod p (pa)≡a2p−1modp
定理 4.3.2
若 p p p是奇素数，则有
( 1 p ) = 1 ( − 1 p ) = ( − 1 ) p − 1 2 \left( \frac{1}{p} \right)=1\\ \left( \frac{-1}{p} \right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}} (p1)=1(p−1)=(−1)2p−1
定理 4.3.3
若 p p p是奇素数，则有
( a + p p ) = ( a p ) ( a ⋅ p p ) = ( a p ) ⋅ ( b p ) 若 ( a , p ) = 1 ,则 ( a 2 p ) = 1 \left( \frac{a+p}{p} \right)= \left( \frac{a}{p} \right)\\ \left( \frac{a\cdot p}{p} \right)= \left( \frac{a}{p} \right)\cdot\left( \frac{b}{p} \right)\\ \text{若$(a,p)=1$,则} \left( \frac{a^2}{p} \right)=1 (pa+p)=(pa)(pa⋅p)=(pa)⋅(pb)若(a,p)=1,则(pa2)=1
推论 4.3.3
若 p p p是奇素数，且 a ≡ b m o d p a\equiv b\mod p a≡bmodp ，则有
( a p ) = ( b p ) \left( \frac{a}{p} \right)= \left( \frac{b}{p} \right) (pa)=(pb)
引理 4.3.1 (高斯引理)
设 p p p是奇素数， a a a是整数， ( a , p ) = 1 (a,p)=1 (a,p)=1。如果整数
a ⋅ 1 , a ⋅ 2 , ⋯ , a ⋅ p − 1 2 a\cdot1,a\cdot2,\cdots,a\cdot\frac{p-1}{2} a⋅1,a⋅2,⋯,a⋅2p−1
中模 p p p的最小正剩余大于 p 2 \frac{p}{2} 2p的个数为 m m m，则有
( a p ) = ( − 1 ) m \left( \frac{a}{p} \right)=(-1)^m (pa)=(−1)m
定理 4.3.4
设 p p p是奇素数，则有
-
( 2 p ) = ( − 1 ) p 2 − 1 8 \left( \frac{2}{p} \right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}} (p2)=(−1)8p2−1
-
若 ( a , 2 p ) = 1 (a,2p)=1 (a,2p)=1，则 ( a p ) = ( − 1 ) T ( a , p ) \left( \frac{a}{p} \right)=(-1)^{T(a,p)} (pa)=(−1)T(a,p)，其中 T ( a , p ) = ∑ k − 1 p − 1 2 [ a ⋅ k p ] T(a,p)=\sum_{k-1}^{\frac{p-1}{2}}\left[\frac{a\cdot k}{p}\right] T(a,p)=∑k−12p−1[pa⋅k]
4.4 二次互反律
定理 4.4.1 (二次互反律)
若 p , q p,q p,q是互素的奇素数，则
( q p ) = ( − 1 ) p − 1 2 ⋅ q − 1 2 ( p q ) \left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}\left(\frac{p}{q}\right) (pq)=(−1)2p−1⋅2q−1(qp)
4.5 雅可比符号
定义 4.5.1
设 m = p 1 p 2 ⋯ p r m=p_1p_2\cdots p_r m=p1p2⋯pr是奇素数 p i p_i pi的乘积。对于任意整数 a a a，定义雅可比符号为
( a m ) = ( a p 1 ) ( a p 2 ) ⋯ ( a p r ) \left(\frac{a}{m}\right)=\left(\frac{a}{p_1}\right)\left(\frac{a}{p_2}\right)\cdots\left(\frac{a}{p_r}\right) (ma)=(p1a)(p2a)⋯(pra)
对于 ( a , m ) = 1 (a,m)=1 (a,m)=1，则有
( a m ) = 1 ⇐ x 2 ≡ a m o d m 有解 ( a n ) = − 1 ⇒ x 2 ≡ a m o d m 无解 \left(\frac{a}{m}\right)=1\Leftarrow x^2\equiv a\mod m \text{有解}\\ \left(\frac{a}{n}\right)=-1\Rightarrow x^2\equiv a\mod m \text{无解}\\ (ma)=1⇐x2≡amodm有解(na)=−1⇒x2≡amodm无解
定理 4.5.1
设 m m m是正奇数，则
- ( a + m m ) = ( a m ) \left(\frac{a+m}{m}\right)=\left(\frac{a}{m}\right) (ma+m)=(ma)
- ( a ⋅ b m ) = ( a m ) ⋅ ( b m ) \left(\frac{a\cdot b}{m}\right)=\left(\frac{a}{m}\right)\cdot\left(\frac{b}{m}\right) (ma⋅b)=(ma)⋅(mb)
- 设 ( a , m ) = 1 (a,m)=1 (a,m)=1，则 ( a 2 m ) = 1 \left(\frac{a^2}{m}\right)=1 (ma2)=1
引理 4.5.1
设 m = p 1 p 2 ⋯ p r m=p_1p_2\cdots p_r m=p1p2⋯pr是奇数，则
m − 1 2 ≡ p 1 − 1 2 p 2 − 1 2 ⋯ p r − 1 2 m o d 2 m 2 − 1 8 ≡ p 1 2 − 1 8 p 2 2 − 1 8 ⋯ p r 2 − 1 8 m o d 2 \frac{m-1}{2}\equiv\frac{p_1-1}{2}\frac{p_2-1}{2}\cdots\frac{p_r-1}{2}\mod 2\\ \frac{m^2-1}{8}\equiv\frac{p_1^2-1}{8}\frac{p_2^2-1}{8}\cdots\frac{p_r^2-1}{8}\mod 2 2m−1≡2p1−12p2−1⋯2pr−1mod28m2−1≡8p12−18p22−1⋯8pr2−1mod2
定理 4.5.2
设 m m m是奇数，则
- ( 1 m ) = 1 \left(\frac{1}{m}\right)=1 (m1)=1
- ( − 1 m ) = ( − 1 ) m − 1 2 \left(\frac{-1}{m}\right)=(-1)^{\frac{m-1}{2}} (m−1)=(−1)2m−1
- ( 2 m ) = ( − 1 ) m 2 − 1 8 \left(\frac{2}{m}\right)=(-1)^{\frac{m^2-1}{8}} (m2)=(−1)8m2−1
定理 4.5.3
设 m , n m,n m,n都是奇数，则
( n m ) = ( − 1 ) m − 1 2 n − 1 2 ( m n ) \left(\frac{n}{m}\right)=(-1)^{
{\frac{m-1}{2}}{\frac{n-1}{2}}}\left(\frac{m}{n}\right) (mn)=(−1)2m−12n−1(nm)
4.6 模平方根
定理 4.6.1
设 p p p是形为 4 k + 3 4k+3 4k+3的素数。如果同余式
x 2 ≡ a m o d p x^2\equiv a\mod p x2≡amodp
有解，则解为
x ≡ ± a p + 1 4 m o d p x\equiv\pm a^{\frac{p+1}{4}}\mod p x≡±a4p+1modp
定理 4.6.2
设 p , q p,q p,q是形如 4 k + 3 4k+3 4k+3的不同素数。如果整数 a a a满足
( a p ) = ( a q ) = 1 \left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{a}{q}\right)=1 (pa)=(qa)=1
则同余式
x 2 ≡ a m o d p ⋅ q x^2\equiv a\mod p\cdot q x2≡amodp⋅q
有解，解由中国剩余定理给出。
定理 4.6.3
待整理
定理 4.6.4
设 p p p是奇素数，则同余式
x 2 ≡ a m o d p α , ( a , p ) = 1 , a > 0 x^2\equiv a\mod p^\alpha,\ (a,p)=1,\ a>0 x2≡amodpα, (a,p)=1, a>0
有解的充分必要条件是 a a a是模 p p p平方剩余，且有解时，解数为2。
推论 4.6.4
设 p p p是奇素数，则对于任意的整数 a a a，同余式
x 2 ≡ a m o d p α , ( a , p ) = 1 , a > 0 x^2\equiv a\mod p^\alpha,\ (a,p)=1,\ a>0 x2≡amodpα, (a,p)=1, a>0
的解数为
T = 1 + ( a p ) T=1+\left(\frac{a}{p}\right) T=1+(pa)
定理 4.6.5
设 α > 1 \alpha>1 α>1，则同余式
x 2 ≡ a m o d 2 α , ( a , 2 ) = 1 , a > 0 x^2\equiv a\mod 2^\alpha,\ (a,2)=1,\ a>0 x2≡amod2α, (a,2)=1, a>0
有解的必要条件是
- 当 a = 2 a=2 a=2时， a ≡ 1 m o d 4 a\equiv1\mod 4 a≡1mod4
- 当 a > 2 a>2 a>2时， a ≡ 1 m o d 8 a\equiv1\mod 8 a≡1mod8