复习自用，详请参考我的blog：密码学数学基础(annesede.github.io)。
记号：/或， G G G群， R R R环， F F F域， p , q p,q p,q素数， g g g原根/生成元，变量默认为正整数。
整除
（扩展）Euclid算法：数/多项式（大除法）； ( a , b ) = n (a,b)=n (a,b)=n， ∃ s , t \exists s,t ∃s,t s.t. s a + b t = n sa+bt=n sa+bt=n。
模除（模逆）： ( b , m ) = 1 (b,m)=1 (b,m)=1， x ≡ a b ≡ a b − 1 ( m o d m ) x\equiv\frac{a}{b} \equiv ab^{-1}({\rm mod}\ m) x≡ba≡ab−1(mod m)；扩展Euclid算法。
技巧：
A ⟺ B A\iff B A⟺B：必要性 A ⟹ B A\implies B A⟹B；充分性 B ⟹ A B\implies A B⟹A。
p ∣ a b ⟹ p ∣ a p|ab\implies p|a p∣ab⟹p∣a 或 p ∣ b p|b p∣b。
a ∣ b , b ∣ a ⟹ a = b a|b,b|a\implies a=b a∣b,b∣a⟹a=b。
∃ q , r \exists q,r ∃q,r s.t. a = q b + r a=qb+r a=qb+r， 0 ≤ r < b 0\leq r<b 0≤r<b。
同余
Euler函数： φ ( n ) = n ∏ p ∣ n ( 1 − 1 p ) \varphi(n)=n\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p}) φ(n)=n∏p∣n(1−p1)。
Euler定理： ( a , m ) = 1 (a,m)=1 (a,m)=1， a φ ( m ) ≡ 1 ( m o d m ) a^{\varphi(m)}\equiv 1({\rm mod}\ m) aφ(m)≡1(mod m)。
Fermat定理： a p ≡ a ( m o d p ) a^p\equiv a({\rm mod}\ p) ap≡a(mod p)。
Wilson定理： ( p − 1 ) ! ≡ − 1 ( m o d p ) (p-1)!\equiv -1({\rm mod}\ p) (p−1)!≡−1(mod p)。
( a , p ) = 1 (a,p)=1 (a,p)=1， a − 1 ≡ a p − 2 ( m o d p ) a^{-1}\equiv a^{p-2}({\rm mod}\ p) a−1≡ap−2(mod p)。
同余式
一次同余式： a x ≡ b ( m o d m ) ax\equiv b({\rm mod}\ m) ax≡b(mod m)有解 ⟺ ( a , m ) ∣ b \iff (a,m)|b ⟺(a,m)∣b；此时 x ≡ ( ( a ( a , m ) ) − 1 ( m o d m ( a , m ) ) ) + b ( a , m ) + t m ( a , m ) ( m o d m ) x\equiv ((\frac{a}{(a,m)})^{-1}({\rm mod}\ \frac{m}{(a,m)}))+\frac{b}{(a,m)}+t\frac{m}{(a,m)}({\rm mod}\ m) x≡(((a,m)a)−1(mod (a,m)m))+(a,m)b+t(a,m)m(mod m)， t = 0 , 1 , . . . , ( a , m ) − 1 t=0,1,...,(a,m)-1 t=0,1,...,(a,m)−1，共 ( a , m ) (a,m) (a,m)个解。
CRT： x ≡ a i ( m o d m i ) x\equiv a_i({\rm mod}\ m_i) x≡ai(mod mi)， m i m_i mi两两互素，有唯一解 x ≡ ∑ M i M i − 1 a i ( m o d m ) x\equiv \sum M_iM_i^{-1}a_i({\rm mod}\ m) x≡∑MiMi−1ai(mod m)；其中 m = ∏ m i m=\prod m_i m=∏mi， M i = ∏ m − i M_i=\prod m_{-i} Mi=∏m−i， M i M i − 1 ≡ 1 ( m o d m i ) M_iM_i^{-1}\equiv 1({\rm mod}\ m_i) MiMi−1≡1(mod mi)。
RSA： n = p q n=pq n=pq， φ ( n ) = ( p − 1 ) ( q − 1 ) \varphi(n)=(p-1)(q-1) φ(n)=(p−1)(q−1)， ( e , φ ( n ) ) = 1 (e,\varphi(n))=1 (e,φ(n))=1， d ≡ e − 1 ( m o d φ ( n ) ) d\equiv e^{-1}({\rm mod}\ \varphi(n)) d≡e−1(mod φ(n))。
加密： c ≡ m e ( m o d n ) c\equiv m^e({\rm mod}\ n) c≡me(mod n)。
解密： m ≡ c d ( m o d m ) ⟸ m\equiv c^d({\rm mod}\ m)\Longleftarrow m≡cd(mod m)⟸CRT ⟸ m ≡ c d ( m o d p ) \Longleftarrow m\equiv c^d({\rm mod}\ p) ⟸m≡cd(mod p) 和 m ≡ c d ( m o d q ) m\equiv c^d({\rm mod}\ q) m≡cd(mod q)。
二次剩余
Euler判定： a p − 1 2 ≡ 1 ( m o d p ) ⟺ a a^\frac{p-1}{2}\equiv 1({\rm mod}\ p) \iff a a2p−1≡1(mod p)⟺a为二次剩余； a p − 1 2 ≡ − 1 ( m o d p ) ⟺ a a^\frac{p-1}{2}\equiv -1({\rm mod}\ p) \iff a a2p−1≡−1(mod p)⟺a 为二次非剩余。
a 2 ≡ ( p − a ) 2 ( m o d p ) a^2\equiv (p-a)^2({\rm mod}\ p) a2≡(p−a)2(mod p)。
原根
元素阶： ∣ a ∣ ∣ ∣ G ∣ |a|||G| ∣a∣∣∣G∣； ∣ a d ∣ = ∣ a ∣ ( ∣ a ∣ , d ) |a^d|=\frac{|a|}{(|a|,d)} ∣ad∣=(∣a∣,d)∣a∣。
不妨设 ∣ a ∣ = n , ∣ a d ∣ = m |a|=n,|a^d|=m ∣a∣=n,∣ad∣=m，由于 a d m = e a^{dm}=e adm=e，即 n ∣ d m n|dm n∣dm，进而 n ( n , d ) ∣ d ( n , d ) m \frac{n}{(n,d)}|\frac{d}{(n,d)}m (n,d)n∣(n,d)dm，即 n ( n , d ) ∣ m \frac{n}{(n,d)}|m (n,d)n∣m；
同时 ( a d ) n ( n , d ) = e (a^d)^\frac{n}{(n,d)}=e (ad)(n,d)n=e，即 m ∣ n ( n , d ) m|\frac{n}{(n,d)} m∣(n,d)n，故 ∣ a d ∣ = ∣ a ∣ ( ∣ a ∣ , d ) |a^d|=\frac{|a|}{(|a|,d)} ∣ad∣=(∣a∣,d)∣a∣。
考虑循环群 Z p ∗ = ⟨ g ⟩ \mathbb{Z}_p^*=\langle g\rangle Zp∗=⟨g⟩时，原根即为生成元。
原根（生成元）： p − 1 = ∏ p i p-1=\prod p_i p−1=∏pi， g p − 1 p i ≢ 1 ( m o d p ) g^\frac{p-1}{p_i}\not\equiv 1({\rm mod}\ p) gpip−1≡1(mod p)；即 ∣ g ∣ = p − 1 |g|=p-1 ∣g∣=p−1；共 φ ( p − 1 ) \varphi(p-1) φ(p−1)个。
群、环、域
群/环证明： H H H为群 ⟸ H < G \Longleftarrow H<G ⟸H<G； I I I为环 ⟸ I < R \Longleftarrow I<R ⟸I<R。
循环群： ∣ g ∣ = ∣ G ∣ |g|=|G| ∣g∣=∣G∣。
整环：无零因子交换幺环；零因子 a , b ≠ 0 a,b\ne 0 a,b=0，但 a b = b a = 0 ab=ba=0 ab=ba=0。
域： ( F − { 0 } , × ) (F-\{0\},\times) (F−{
0},×)为Abel群；有群表。
多项式域： F p [ x ] / ⟨ q ( x ) ⟩ = { ∑ i = 0 d e g q a i x i ∣ a i ∈ F p } ≅ F p n F_p[x]/\langle q(x)\rangle=\{\sum_{i=0}^{ {\rm deg}q}a_ix^i\ | \ a_i\in F_p\}\cong F_{p^n} Fp[x]/⟨q(x)⟩={ ∑i=0degqaixi ∣ ai∈Fp}≅Fpn。
椭圆曲线
群构造： y 2 ≡ x 3 + a x + b ( m o d p ) → E p ( a , b ) y^2\equiv x^3+ax+b ({\rm mod}\ p)\to E_p(a,b) y2≡x3+ax+b(mod p)→Ep(a,b)；二次剩余。
群加法： P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) , P + Q ( x 3 , y 3 ) P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),P+Q(x_3,y_3) P(x1,y1),Q(x2,y2),P+Q(x3,y3)；模除。
x 3 = λ 2 − x 1 − x 2 x_3=\lambda^2-x_1-x_2 x3=λ2−x1−x2； y 3 = λ ( x 1 − x 3 ) − y 1 y_3=\lambda(x_1-x_3)-y_1 y3=λ(x1−x3)−y1。
λ = y 2 − y 1 x 2 − x 1 ( P ≠ Q ) ; 3 x 1 2 + a 2 y 1 ( P = Q ) \lambda=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\ (P\ne Q);\ \frac{3x_1^2+a}{2y_1}\ (P=Q) λ=x2−x1y2−y1 (P=Q); 2y13x12+a (P=Q)。