全部笔记的汇总贴(视频也有传送门):中科大-凸优化
例:Boolen LP问题
例:Boolen LP等价问题
{ min c T x s . t . A x ≤ b x i ( x i − 1 ) = 0 , i = 1 , ⋯ , n ⇒ L ( x , λ , v ) = c T x + λ T ( A x − b ) + ∑ i = 1 n v i x i 2 − ∑ i = 1 n v i x i = ∑ i = 1 n v i x i 2 + ( c + A λ T − v ) T x − λ T b ⇒ g ( λ , v ) = inf x L ( x , λ , v ) = { − λ T b − 1 4 ∑ i = 1 n ( c i + a i T λ − v i ) 2 v i , v ≥ 0 − ∞ , o t h e r w i s e ( D ) max − λ T b − 1 4 ∑ i = 1 n ( c i + a i T λ − v i ) 2 v i s . t . λ ≥ 0 , v ≥ 0 max λ , v f ( λ , v ) = max λ max v f ( λ , v ) \begin{cases} \min c^Tx \\ s.t. \;\;Ax\le b\\\;\;\;\;\;\;\;x_i(x_i-1)=0,i=1,\cdots,n \end{cases}\\\;\\\Rightarrow L(x,\lambda,v)=c^Tx+\lambda^T(Ax-b)+\sum_{i=1}^nv_ix_i^2-\sum_{i=1}^nv_ix_i\\=\sum_{i=1}^nv_ix_i^2+(c+A\lambda^T-v)^Tx-\lambda^Tb\\\;\\\Rightarrow g(\lambda,v)=\inf_x L(x,\lambda,v)=\begin{cases} -\lambda^Tb-\frac14\sum_{i=1}^n\frac{(c_i+a_i^T\lambda-v_i)^2}{v_i},v\ge0\\ -\infty,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;otherwise \end{cases}\\\;\\(D)\;\max -\lambda^Tb-\frac14\sum_{i=1}^n\frac{(c_i+a_i^T\lambda-v_i)^2}{v_i}\\s.t.\;\;\lambda\ge0,v\ge0\\\max_{\lambda,v}f(\lambda,v)=\max_\lambda\max_vf(\lambda,v) ⎩⎪⎨⎪⎧mincTxs.t.Ax≤bxi(xi−1)=0,i=1,⋯,n⇒L(x,λ,v)=cTx+λT(Ax−b)+i=1∑nvixi2−i=1∑nvixi=i=1∑nvixi2+(c+AλT−v)Tx−λTb⇒g(λ,v)=xinfL(x,λ,v)={
−λTb−41∑i=1nvi(ci+aiTλ−vi)2,v≥0−∞,otherwise(D)max−λTb−41i=1∑nvi(ci+aiTλ−vi)2s.t.λ≥0,v≥0λ,vmaxf(λ,v)=λmaxvmaxf(λ,v)