LearnOpenGL学习笔记—PBR：理论

本节对应官网学习内容：理论
结合英文原站，中文站，以及个人实践进行描述。
并且结合了个人在games101中的相关笔记
GAMES101课程学习笔记—Lec 14（2）~16：Ray Tracing（2） BRDF、渲染方程、全局光照、路径追踪
GAMES101课程学习笔记—Lec 17：Materials and Appearances 材质和外观

1.1 引入

PBR，或者用更通俗一些的称呼是指基于物理的渲染(Physically Based Rendering)。

它指的是一些在不同程度上都基于与现实世界的物理原理更相符的基本理论所构成的渲染技术的集合。

正因为基于物理的渲染目的便是为了使用一种更符合物理学规律的方式来模拟光线，因此这种渲染方式与我们原来的Phong或者Blinn-Phong光照算法相比总体上看起来要更真实一些。

除了看起来更好些以外，由于它与物理性质非常接近，因此我们（尤其是美术师们）可以直接以物理参数为依据来编写表面材质，而不必依靠粗劣的修改与调整来让光照效果看上去正常。

使用基于物理参数的方法来编写材质还有一个更大的好处，就是不论光照条件如何，这些材质看上去都会是正确的，而在非PBR的渲染管线当中有些东西就不会那么真实了。

虽然如此，基于物理的渲染仍然只是对基于物理原理的现实世界的一种近似，这也就是为什么它被称为基于物理的着色(Physically based Shading) 而非物理着色(Physical Shading)的原因。

判断一种PBR光照模型是否是基于物理的，必须满足以下三个条件（不用担心，我们很快就会了解它们的）：

• 基于微平面(Microfacet)的表面模型。
  能量守恒。
  应用基于物理的BRDF。

在这次的PBR系列教程之中，我们将会把重点放在最先由迪士尼(Disney)提出探讨并被Epic Games首先应用于实时渲染的PBR方案。

他们基于金属质地工作流(Metallic Workflow)的方案有非常完备的文献记录，广泛应用于各种流行的引擎之中并且有着非常令人惊叹的视觉效果。

完成这次的教程之后我们将会制作出类似于这样的一些东

请注意这个系列的教程所探讨的内容属于相当高端的领域，因此要求读者对OpenGL和着色器光照有较好的理解。

读者将会需要这些相关的知识：帧缓冲，立方体贴图，Gamma校正，HDR和法线贴图。

我们还会深入探讨一些高等数学的内容

1.2 微表面模型

所有的PBR技术都基于微平面理论。

这项理论认为，达到微观尺度之后任何平面，都可以用被称为微平面(Microfacets)的细小镜面，来进行描绘。

产生的效果就是：一个平面越是粗糙，这个平面上的微平面的排列就越混乱。

这些微小镜面这样无序取向排列的影响就是，当我们特指镜面反射时

• 对于一个粗糙的表面，入射光线更趋向于向完全不同的方向发散(Scatter)开来，进而产生出分布范围更广泛的镜面反射。
• 而与之相反的是，对于一个光滑的平面，光线大体上会更趋向于向同一个方向反射，造成更小更锐利的反射
  
  在微观尺度下，没有任何平面是完全光滑的。

然而由于这些微平面已经微小到无法逐像素的继续对其进行区分，因此我们只有假设一个粗糙度(Roughness)参数，然后用统计学的方法来概略的估算微平面的粗糙程度。

我们可以基于一个平面的粗糙度来计算出某个向量的方向与微平面平均取向方向一致的概率。

这个向量便是位于光线向量$l$和视线向量$v$之间的中间向量(Halfway Vector)。

$h=\frac{l+v}{\Vert l+v\Vert }$

我们知道微平面的取向方向与中间向量的方向越是一致，镜面反射的效果就越是强烈越是锐利。
于是我们加上一个介于0到1之间的粗糙度参数，这样我们就能概略的估算微平面的取向情况了

我们可以看到，较高的粗糙度值显示出来的镜面反射的轮廓要更大一些。
与之相反地，较小的粗糙值显示出的镜面反射轮廓则更小更锐利。

1.3 能量守恒

微平面近似法使用了这样一种形式的能量守恒(Energy Conservation)：出射光线的能量永远不能超过入射光线的能量（发光面除外）。

如图示我们可以看到，随着粗糙度的上升镜面反射区域的会增加，但是镜面反射的亮度却会下降。

• 如果不管反射轮廓的大小而让每个像素的镜面反射强度(Specular Intensity)都一样的话，那么粗糙的平面就会放射出过多的能量，而这样就违背了能量守恒定律。
• 这也就是为什么正如我们看到的一样，光滑平面的镜面反射更强烈而粗糙平面的反射更昏暗。

为了遵守能量守恒定律，我们需要对漫反射光和镜面反射光之间做出明确的区分。

当一束光线碰撞到一个表面的时候，它就会分离成一个折射部分和一个反射部分。

反射部分就是会直接反射开来而不会进入平面的那部分光线，这就是我们所说的镜面光照。

而折射部分就是余下的会进入表面并被吸收的那部分光线，这也就是我们所说的漫反射光照。

这里还有一些细节需要处理，因为当光线接触到一个表面的时候折射光是不会立即就被吸收的。

通过物理学我们可以得知，光线实际上可以被认为是一束没有耗尽就不停向前运动的能量，而光束是通过碰撞的方式来消耗能量。

每一种材料都是由无数微小的粒子所组成，这些粒子都能如下图所示一样与光线发生碰撞。

这些粒子在每次的碰撞中都可以吸收光线所携带的一部分或者是全部的能量而后转变成为热量。

一般来说，并非所有能量都会被全部吸收，而光线也会继续沿着（基本上）随机的方向发散，然后再和其他的粒子碰撞直至能量完全耗尽或者再次离开这个表面。

而光线脱离物体表面后将会协同构成该表面的（漫反射）颜色。

不过在基于物理的渲染之中我们进行了简化，假设对平面上的每一点所有的折射光都会被完全吸收而不会散开。

而有一些被称为次表面散射(Subsurface Scattering)技术的着色器技术将这个问题考虑了进去，它们显著的提升了一些诸如皮肤，大理石或者蜡质这样材质的视觉效果，不过伴随而来的则是性能下降代价。

对于金属(Metallic)表面，当讨论到反射与折射的时候还有一个细节需要注意。

金属表面对光的反应与非金属材料（也被称为介电质(Dielectrics)材料）表面相比是不同的。

它们遵从的反射与折射原理是相同的，但是所有的折射光都会被直接吸收而不会散开，只留下反射光或者说镜面反射光。

亦即是说，金属表面不会显示出漫反射颜色。

由于金属与电介质之间存在这样明显的区别，因此它们两者在PBR渲染管线中被区别处理，而我们将在文章的后面进一步详细探讨这个问题。

反射光与折射光之间的这个区别使我们得到了另一条关于能量守恒的经验结论：反射光与折射光它们二者之间是互斥的关系。

无论何种光线，其被材质表面所反射的能量将无法再被材质吸收。

因此，诸如折射光这样的余下的进入表面之中的能量正好就是我们计算完反射之后余下的能量。

我们按照能量守恒的关系，首先计算镜面反射部分，它的值等于入射光线被反射的能量所占的百分比。
然后折射光部分就可以直接由镜面反射部分计算得出：

float kS = calculateSpecularComponent(...); // 反射/镜面 部分
float kD = 1.0 - ks;                        // 折射/漫反射 部分

这样我们就能在遵守能量守恒定律的前提下知道入射光线的反射部分与折射部分所占的总量了。

按照这种方法折射/漫反射与反射/镜面反射所占的份额都不会超过1.0，如此就能保证它们的能量总和永远不会超过入射光线的能量。
而这些都是我们在前面的光照教程中没有考虑的问题。

1.4 反射方程

在这里我们引入了一种被称为渲染方程(Render Equation)的东西。

它是某些聪明绝顶人所构想出来的一个精妙的方程式，是如今我们所拥有的用来模拟光的视觉效果最好的模型。

基于物理的渲染所坚定的遵循的是一种被称为反射方程(The Reflectance Equation)的渲染方程的特化版本。

渲染方程与反射方程相比，渲染方程只是多加了一个自己发光的能量。
要正确的理解PBR 很重要的一点就是要首先透彻的理解反射方程。

可以看GAMES101第14讲0-3节的笔记解释，感觉闫老师还是讲得很好的。

接下来我会结合两者进行展开

1.4.1 辐射度量学

要正确的理解这个方程式，我们必须要稍微涉足一些辐射度量学(Radiometry)的内容。

辐射度量学是一种用来度量电磁场辐射（包括可见光）的手段。

有很多种辐射度量(radiometric quantities)可以用来测量曲面或者某个方向上的光，但是我们将只会讨论其中和反射方程有关的一种。

它被称为辐射率(Radiance)，在这里用L来表示。

辐射率被用来量化单一方向上发射来的光线的大小或者强度。

由于辐射率是由许多物理变量集合而成的，一开始理解起来可能有些困难，因此我们首先关注一下这些物理量：

1.4.2 辐射通量(Radiant Flux)

辐射通量$\Phi$表示的是一个光源所输出的能量，以瓦特为单位。

光是由多种不同波长的能量所集合而成的，而每种波长则与一种特定的（可见的）颜色相关。

因此一个光源所放射出来的能量可以被视作这个光源包含的所有各种波长的一个函数。

波长介于390nm到700nm（纳米）的光被认为是处于可见光光谱中，也就是说它们是人眼可见的波长。

在下面可以看到一幅图片，里面展示了日光中不同波长的光所具有的能量：

辐射通量将会计算这个由不同波长构成的函数的总面积。

直接将这种对不同波长的计量作为参数输入计算机图形有一些不切实际，因此我们通常不直接使用波长的强度而是使用三原色编码，也就是RGB（或者按通常的称呼：光色）来作为辐射通量表示的简化。

这套编码确实会带来一些信息上的损失，但是这对于视觉效果上的影响基本可以忽略。

闫老师PPT的定义是这样的
辐射通量Radiant Flux(Power)：单位时间内辐射出的能量，可以表示光的亮度

Flux也可以理解为单位时间内通过这个平面的光子的数量

1.4.3 立体角(Solid Angle)

什么是立体角呢，我们先从平面角入手
平面角的定义是以弧长除以半径，并且此时圆的放大缩小并不影响这个角度，平面角最大为2π
扩展到三维，立体角的定义是面积除以半径的平方，根据积分可得立体角最大为4π

立体角用$\omega$表示
定义完立体角，我们接着定义单位立体角
用一块单位面积除以半径的平方
这块单位面积我们用球面坐标的$\theta$和$\phi$的变化来定义可以得到

立体角(Solid Angle)是投射到这个单位球体上的截面的面积，可以把立体角想象成为一个带有体积的方向。

1.4.4 辐射强度(Radiant Intensity)

辐射强度(Radiant Intensity)：在单位时间内，往每个立体角（Solid Angle）上辐射出的能量
计算辐射强度的公式如下所示
其中$I$表示辐射通量$\Phi$除以立体角$\omega$

举个例子，我们定义一个均匀发光的点光源，积分全部的单位立体角上的辐射强度(Radiant Intensity)得到辐射通量(Radiant Flux)

我们得到单位立体角上的辐射强度(Radiant Intensity)是能量除以4π

1.4.5 入射辐照度(Irradiance)

入射辐照度(Irradiance)定义：在单位时间内，每个单位面积上接受到的光照的能量
即power per unit area

做一下对比，之前的Radiant Intensity是 power per unit solid angle

• 注：这个单位面积必须要和光线垂直，如果不垂直的话要把面积投影到垂直的方向上（图中没有写cos，暂时就一个dA）
  
  不同角度下的Irradiance计算方法使用Lambert’s余弦定理
  左图：单位面积和光线垂直，所以直接用Irradiance的计算式即可
  中图：面积与光线不垂直，其投影只能接受到三根、一半的光线，所以要×1/2
  右图：更普遍的情况，当单位面积与光线不垂直时，要×cos将其投影到垂直的方向上去。
  
  $cos\theta$就直接对应于光线的方向向量和平面法向量的点积：

float cosTheta = dot(lightDir, N);  

1.4.6 出射辐射度(Radiance)

出射辐射度(Radiance)是描述 环境中 光的分布 的 基本场量（fundamental field quantity）。

它主要用来准确描述光线的一些属性，出射辐射度(Radiance)是我们的反射方程要算的东西。

Radiance定义：
英文定义：The radiance (luminance) is the power emitted, reflected, transmitted or received by a surface, per unit solid angle, per projected unit area.
也就是，某个单位面，往某个单位立体角方向上的发出的能量

这个方程表示的是，一个拥有辐射强度$\Phi$的光源在单位面积$A$，单位立体角$\omega$上的辐射出的总能量：

• 如果我们把立体角$\omega$和面积$A$看作是无穷小的，那么我们就能用出射辐射度(Radiance)来表示单束光线穿过空间中的一个点的通量。
• 这就使我们可以计算得出作用于单个（片段）点上的单束光线的出射辐射度(Radiance)，我们实际上把立体角$\omega$转变为方向向量$\omega$，然后把面$A$转换为点$p$。
• 这样我们就能直接在我们的着色器中使用出射辐射度(Radiance)来计算单束光线对每个片段的作用了。

Radiance和Irradiance的区别和联系在图形学上用的很多，我们再总结一下

• Radiance是某个单位面向某个单位立体角辐射出去的能量
  Irradiance是某个单位面积上接受到来自四面八方的能量
  把半球面上的所有Radiance积分起来得到的就是Irradiance
  

1.4.6 概念：双向反射分布函数（Bidirectional ReflectanceDistribution Function，BRDF）

我们之前说反射会这么理解：
如果从一个地方发出光线打到一个镜子，然后光线会反射到另一个方向去；如果打到漫反射物体，那么往四面八方都会去。

所以我们需要有一个函数来描述这种性质：从某个方向进来，并且反射到某个方向去的能量是多少。

反射在我们之前的理解中，是一道光线到达一个表面，然后反射到其他的方向去的过程。

这个过程其实也可以看作是这样：从某一个方向来的光线，到达物体表面后，被物体表面所吸收，然后再由物体表面发射到其他方向去。

这也就是用到了Radiance和Irradiance来解释反射


BRDF能表示从每个入射方向收集到的能量以某种比例反射到每个出射方向上的能量
即某个光线打到物体表面后，往不同方向反射的能量分布。
如果说是镜面反射，那么只有反射方向上会有能量，其他所有方向上都没有能量；如果是漫反射，这个进来的能量会被均等的分布到各个方向上。

忽略推导部分，其实BRDF就是描述了物体和光线之间的相互作用
正是由于BRDF的这种概念，决定了物体不同的材质到底是怎么一回事，也就是BRDF定义了材质。

1.4.7 反射方程

把角度换成向量点积也就是这样：
$L_o(p,{\omega }_o)=\underset{\Omega }{\int }{f}_r(p,{\omega }_i,{\omega }_o)L_i(p,{\omega }_i)n\cdot {\omega }_{i}d{\omega }_i$

基于反射方程是围绕所有入射辐照度(Irradiance)的总和来计算的，所以我们需要计算的就不只是是单一的一个方向上的入射光，而是一个以点p为球心的半球领域Ω内所有方向上的入射光。

一个半球领域(Hemisphere)可以描述为以平面法线n为轴所环绕的半个球体：

积分运算的计算结果要么是解析解要么就是数值解。
由于渲染方程和反射率方程都没有解析解，我们将会用离散的方法来求得这个积分的数值解。

这个问题就转化为，在半球领域Ω中按一定的步长将反射方程分散求解，然后再按照步长大小将所得到的结果平均化。这种方法被称为黎曼和(Riemann sum) ，我们可以用下面的代码粗略的演示一下：

int steps = 100;
float sum = 0.0f;
vec3 P    = ...;//点的位置
vec3 Wo   = ...;//出射方向
vec3 N    = ...;//法向量
float dW  = 1.0f / steps;
for(int i = 0; i < steps; ++i) 
{
    
    
    vec3 Wi = getNextIncomingLightDir(i);
    sum += Fr(p, Wi, Wo) * L(p, Wi) * dot(N, Wi) * dW;
}

通过利用dW来对所有离散部分进行缩放，其和最后就等于积分函数的总面积或者总体积。

这个用来对每个离散步长进行缩放的dW可以认为就是反射率方程中的$d{\omega }_i$。

在数学上，用来计算积分的$d{\omega }_i$表示的是一个连续的符号，而我们使用的dW在代码中和它并没有直接的联系（因为它代表的是黎曼和中的离散步长），这样写是为了可以帮助理解。

请牢记，使用离散步长得到的是函数总面积的一个近似值。细心的读者可能已经注意到了，我们可以通过增加离散部分的数量来提高黎曼和的准确度(Accuracy)。

入射辐照度(Irradiance)可以由光源处获得，此外还可以利用一个环境贴图来测算所有入射方向上的入射辐照度(Irradiance)，我们将在IBL教程中讨论这个方法。（我们目前先不考虑除了光源以外的光）

1.4.8 Cook-Torrance BRDF

BRDF，或者说双向反射分布函数，它接受入射（光）方向${\omega }_i$，出射（观察）方向${\omega }_o$，平面法线$n$以及一个用来表示微平面粗糙程度的参数$a$作为函数的输入参数。

BRDF可以近似的求出每束光线对一个给定了材质属性的平面上最终反射出来的光线所作出的贡献程度。

举例来说，如果一个平面拥有完全光滑的表面（比如镜面），那么对于所有的入射光线ωi（除了后面提到的一束以外）而言BRDF函数都会返回0.0 ，只有一束与出射光线ωo拥有相同（被反射）角度的光线会得到1.0这个返回值。

BRDF基于我们之前所探讨过的微平面理论来近似的求得材质的反射与折射属性。

对于一个BRDF，为了实现物理学上的可信度，它必须遵守能量守恒定律，也就是说反射光线的总和永远不能超过入射光线的总量。

严格上来说，同样采用${\omega }_i$和${\omega }_o$作为输入参数的 Blinn-Phong光照模型也被认为是一个BRDF。

然而由于Blinn-Phong模型并没有遵循能量守恒定律，因此它不被认为是基于物理的渲染。

现在已经有很好几种BRDF都能近似的得出物体表面对于光的反应，但是几乎所有实时渲染管线使用的都是一种被称为Cook-Torrance BRDF模型。

Cook-Torrance BRDF兼有漫反射和镜面反射两个部分：
$f_r=k_d{f}_{lambert}+k_s{f}_{cook-torrance}$

• 这里的$k_d$是早先提到过的，入射光线中被折射部分的能量所占的比率
  而$k_s$是被反射部分的比率。

BRDF的左侧表示的是漫反射部分，这里用$f_{lambert}$来表示。
它被称为Lambertian漫反射，这和我们之前在漫反射着色中使用的常数因子类似，用如下的公式来表示：

$f_{lambert}=\frac{c}{\pi }$

$c$ 表示表面颜色（回想一下漫反射表面纹理）。
除以π是为了对漫反射光进行标准化，因为前面含有BRDF的积分方程是受π影响的（我们会在IBL的教程中探讨这个问题）。

• 也许会感到好奇，这个Lambertian漫反射和我们之前经常使用的漫反射到底有什么关系?
• 之前我们是用表面法向量与光照方向向量进行点乘，然后再将结果与平面颜色相乘得到漫反射参数。
• 点乘依然还在，但是却不在这个BRDF之内了，而是转变成为了$L_o$积分末公式末尾处的$n\cdot \omega i$ 。

目前存在着许多不同类型的模型来实现BRDF的漫反射部分，大多看上去都相当真实，但是相应的运算开销也非常的昂贵。

不过按照Epic公司给出的结论，Lambertian漫反射模型已经足够应付大多数实时渲染的用途了。

BRDF的镜面反射部分要稍微更高级一些，它的形式如下所示：

$f_{cook-torrance}=\frac{FGD}{4({\omega }_o\cdot n)({\omega }_i\cdot n)}$

Cook-Torrance BRDF的镜面反射部分包含三个函数，此外分母部分还有一个标准化因子 。
字母D，F与G分别代表着一种类型的函数，各个函数分别用来近似的计算出表面反射特性的一个特定部分。
三个函数分别为
菲涅尔方程(Fresnel Rquation)
几何函数(Geometry Function)
法线分布函数(Normal Distribution Function)

• 法线分布函数：估算在受到表面粗糙度的影响下，取向方向与中间向量一致的微平面的数量。这是用来估算微平面的主要函数。
• 几何函数：描述了微平面自成阴影的属性。当一个平面相对比较粗糙的时候，平面表面上的微平面有可能挡住其他的微平面从而减少表面所反射的光线。
• 菲涅尔方程：菲涅尔方程描述的是在不同的表面角下，表面所反射的光线所占的比率。

以上的每一种函数都是用来估算相应的物理参数的，而且会发现用来实现相应物理机制的每种函数都有不止一种形式。

它们有的非常真实，有的则性能高效。

我们可以按照自己的需求任意选择自己想要的函数的实现方法。

Epic游戏公司的Brian Karis对于这些函数的多种近似实现方式进行了大量的研究。

我们将会采用Epic Games在Unreal Engine 4中所使用的函数，其中

法线分布函数D：使用Trowbridge-Reitz GGX
菲涅尔方程F：使用Fresnel-Schlick近似(Fresnel-Schlick Approximation)，
几何函数G：使用Smith’s Schlick-GGX

1.4.8.1 法线分布函数

法线分布函数D，或者说镜面分布，从统计学上近似的表示了，与某些向量h（我们的话就是中间向量）取向一致的微平面的比率。

举例来说，假设给定向量h，如果我们的微平面中有35%与向量h取向一致，则法线分布函数或者说NDF将会返回0.35。

目前有很多种NDF都可以从统计学上来估算微平面的总体取向度，只要给定一些粗糙度的参数。

我们马上将会要用到的参数Trowbridge-Reitz GGX：

$ND{F}_{GGXTR}(n,h,\alpha )=\frac{{\alpha }^2}{\pi ((n\cdot h{)}^2({\alpha }^2-1)+1{)}^2}$

在这里h表示用来与平面上微平面做比较用的中间向量，而a表示表面粗糙度。

如果我们暂时把h当成是，不同粗糙度参数下，平面法向量和光线方向向量之间的中间向量的话，我们可以得到如下图示的效果：

当粗糙度很低（也就是说表面很光滑）的时候，与中间向量取向一致的微平面会高度集中在一个很小的半径范围内。

由于这种集中性，NDF最终会生成一个非常明亮的斑点。

但是当表面比较粗糙的时候，微平面的取向方向会更加的随机。

会发现与h向量取向一致的微平面分布在一个大得多的半径范围内，但是同时较低的集中性也会让我们的最终效果显得更加灰暗。

使用GLSL代码编写的Trowbridge-Reitz GGX法线分布函数是下面这个样子的：

float D_GGX_TR(vec3 N, vec3 H, float a)
{
    
    
    float a2     = a*a;
    float NdotH  = max(dot(N, H), 0.0);
    float NdotH2 = NdotH*NdotH;

    float nom    = a2;
    float denom  = (NdotH2 * (a2 - 1.0) + 1.0);
    denom        = PI * denom * denom;

    return nom / denom;
}

1.4.8.2 几何函数

几何函数从统计学上近似的求得了微平面间相互遮蔽的比率，这种相互遮蔽会损耗光线的能量。
与NDF类似，几何函数采用一个材料的粗糙度参数作为输入参数，粗糙度较高的表面其微平面间相互遮蔽的概率就越高。

我们将要使用的几何函数是GGX与Schlick-Beckmann近似的结合体，因此又称为Schlick-GGX：

$G_{SchlickGGX}(n,v,k)=\frac{n\cdot v}{(n\cdot v)(1-k)+k}$

这里的$k$，是来自一个参数$\alpha$，参数$\alpha$来自于粗糙度，$\alpha$并且根据几何函数是针对直接光照还是针对IBL光照，进行了重映射(Remapping) :

$k_{direct}=\frac{(\alpha +1{)}^2}{8}$
$k_{IBL}=\frac{{\alpha }^2}{2}$

注意，根据引擎把粗糙度转化为α的方式不同，得到α的值也有可能不同。

在接下来的教程中，我们将会广泛的讨论这个重映射是如何起作用的。

为了有效的估算几何部分，需要考虑两个方向
观察方向（几何遮蔽(Geometry Obstruction)）
光线方向向量（几何阴影(Geometry Shadowing)）

两个方向都要用Schlick-GGX

我们可以使用史密斯法(Smith’s method)来把两者都纳入其中：

$G(n,v,l,k)=G_{sub}(n,v,k)G_{sub}(n,l,k)$

使用史密斯法与Schlick-GGX作为$G_{sub}$可以得到如下所示不同粗糙度的视觉效果：

几何函数是一个值域为[0.0, 1.0]的乘数，其中白色或者说1.0表示没有微平面阴影，而黑色或者说0.0则表示微平面彻底被遮蔽。

使用GLSL编写的几何函数代码如下：

float GeometrySchlickGGX(float NdotV, float k)
{
    
    
    float nom   = NdotV;
    float denom = NdotV * (1.0 - k) + k;

    return nom / denom;
}

float GeometrySmith(vec3 N, vec3 V, vec3 L, float k)
{
    
    
    float NdotV = max(dot(N, V), 0.0);
    float NdotL = max(dot(N, L), 0.0);
    float ggx1 = GeometrySchlickGGX(NdotV, k);
    float ggx2 = GeometrySchlickGGX(NdotL, k);

    return ggx1 * ggx2;
}

1.4.8.3 菲涅尔方程

菲涅尔方程描述的是 被反射的光线 对比 光线被折射的部分 所占的比率，这个比率会随着我们观察的角度不同而不同。

当光线碰撞到一个表面的时候，菲涅尔方程会根据观察角度告诉我们被反射的光线所占的百分比。

利用这个反射比率和能量守恒原则，我们可以直接得出光线被折射的部分以及光线剩余的能量。

当垂直观察的时候，任何物体或者材质表面都有一个基础反射率(Base Reflectivity)，但是如果以一定的角度往平面上看的时候所有反光都会变得明显起来。

你可以自己尝试一下，用垂直的视角观察你自己的木制/金属桌面，此时一定只有最基本的反射性。

但是如果你从近乎90度（译注：应该是指和法线的夹角）的角度观察的话反光就会变得明显的多。

如果从理想的90度视角观察，所有的平面理论上来说都能完全的反射光线。这种现象因菲涅尔而闻名，并体现在了菲涅尔方程之中。

菲涅尔方程是一个相当复杂的方程式，不过幸运的是菲涅尔方程可以用Fresnel-Schlick近似法求得近似解：

$F_{Schlick}(h,v,F_0)=F_0+(1-F_0)(1-(h\cdot v){)}^5$

h代表视线v和和光线l的half vector; v代表视线.

$F_0$ 表示平面的基础反射率，它是利用所谓折射指数(Indices of Refraction)计算得出的。

然后正如你可以从球体表面看到的那样，我们越是朝球面掠角的方向上看（此时视线和表面法线的夹角接近90度）菲涅尔现象就越明显，反光就越强：

菲涅尔方程还存在一些细微的问题。其中一个问题是Fresnel-Schlick近似仅仅对电介质或者说非金属表面有定义。

对于导体(Conductor)表面（金属），使用它们的折射指数计算基础折射率并不能得出正确的结果，这样我们就需要使用一种不同的菲涅尔方程来对导体表面进行计算。

由于这样很不方便，所以我们预先计算出平面对于法向入射（F0）的反应（处于0度角，好像直接看向表面一样）

然后基于相应观察角的Fresnel-Schlick近似对这个值进行插值，用这种方法来进行进一步的估算。这样我们就能对金属和非金属材质使用同一个公式了。

平面对于法向入射的响应或者说基础反射率可以在一些大型数据库中找到，比如这个。
下面列举的这一些常见数值就是从Naty Hoffman的课程讲义中所得到的：

这里可以观察到的一个有趣的现象，所有电介质材质表面的基础反射率都不会高于0.17，这其实是例外而非普遍情况。

导体材质表面的基础反射率起点更高一些并且（大多）在0.5和1.0之间变化。

此外，对于导体或者金属表面而言基础反射率一般是带有色彩的，这也是为什么F0要用RGB三原色来表示的原因（法向入射的反射率可随波长不同而不同）。

这种现象我们只能在金属表面观察的到。

金属表面这些和电介质表面相比所独有的特性引出了所谓的金属工作流的概念。

也就是我们需要额外使用一个被称为金属度（Metalness）的参数来参与编写表面材质。

金属度用来描述一个材质表面是金属还是非金属的。

• 理论上来说，一个表面的金属度应该是二元的：要么是金属要么不是金属，不能两者皆是。
• 但是，大多数的渲染管线都允许在0.0至1.0之间线性的调配金属度。这主要是由于材质纹理精度不足以描述一个拥有诸如细沙/沙状粒子/刮痕的金属表面。
• 通过对这些小的类非金属粒子/刮痕调整金属度值，我们可以获得非常好看的视觉效果。

通过预先计算电介质与导体的$F_0$值，我们可以对两种类型的表面使用相同的Fresnel-Schlick近似，但是如果是金属表面的话，就需要对基础反射率添加色彩。

我们一般是按下面这个样子来实现的：

vec3 F0 = vec3(0.04);
F0      = mix(F0, surfaceColor.rgb, metalness);

我们为大多数电介质表面定义了一个近似的基础反射率。
$F_0$取最常见的电解质表面的平均值，这又是一个近似值。

不过对于大多数电介质表面而言使用0.04作为基础反射率已经足够好了，而且可以在不需要输入额外表面参数的情况下得到物理可信的结果。

然后，基于金属表面特性，我们要么使用电介质的基础反射率，要么就使用$F_0$来作为表面颜色。

因为金属表面会吸收所有折射光线而没有漫反射，所以我们可以直接使用表面颜色纹理来作为它们的基础反射率。

Fresnel Schlick近似可以用代码表示为：

vec3 fresnelSchlick(float cosTheta, vec3 F0)
{
    
    
    return F0 + (1.0 - F0) * pow(1.0 - cosTheta, 5.0);
}

其中cosTheta是，$h\cdot v$，v表示视线方向，h代表视线v和和光线l的half vector

1.5 Cook-Torrance反射方程

随着Cook-Torrance BRDF中所有元素都介绍完毕，我们现在可以将基于物理的BRDF纳入到最终的反射方程当中去了：
$L_o(p,{\omega }_o)=\underset{\Omega }{\int }(k_d\frac{c}{\pi }+k_s\frac{DFG}{4({\omega }_o\cdot n)({\omega }_i\cdot n)})L_i(p,{\omega }_i)n\cdot {\omega }_{i}d{\omega }_i$

这个方程现在完整的描述了一个基于物理的渲染模型，它现在可以认为就是我们一般意义上理解的基于物理的渲染也就是PBR。

如果你还没有能完全理解我们将如何把所有这些数学运算结合到一起并融入到代码当中去的话也不必担心。

在下一个教程当中，我们将探索如何实现反射率方程来在我们渲染的光照当中获得更加物理可信的结果，而所有这些零零星星的碎片将会慢慢组合到一起来。

1.6 编写PBR材质

在了解了PBR后面的数学模型之后，最后我们来说明，美术师一般是如何编写那些我们可以直接输入PBR的表面物理属性的纹理材质。

PBR渲染管线所需要的每一个表面参数都可以用纹理来定义或者建模。

使用纹理可以让我们逐个片段的来控制每个表面上特定的点对于光线是如何响应的：不论那个点是金属的，粗糙或者平滑，也不论表面对于不同波长的光会有如何的反应。

在下面你可以看到在一个PBR渲染管线当中经常会碰到的纹理列表，还有将它们输入PBR渲染器所能得到的相应的视觉输出：

• 反射率：反射率(Albedo)纹理为每一个金属的纹素(Texel)（纹理像素）指定表面颜色或者基础反射率。
  这和我们之前使用过的漫反射纹理相当类似，不同的是所有光照信息都是由一个纹理中提取的。
  漫反射纹理的图像当中常常包含一些细小的阴影或者深色的裂纹，而反射率纹理中是不会有这些东西的。它应该只包含表面的颜色（或者折射吸收系数）。

• 法线：法线贴图纹理和我们之前在法线贴图教程中所使用的贴图是完全一样的。法线贴图使我们可以逐片段的指定独特的法线，来为表面制造出起伏不平的假象。

• 金属度：金属(Metallic)贴图逐个纹素的指定该纹素是不是金属质地的。根据PBR引擎设置的不同，美术师们既可以将金属度编写为灰度值又可以编写为1或0这样的二元值。

• 粗糙度：粗糙度(Roughness)贴图可以以纹素为单位指定某个表面有多粗糙。采样得来的粗糙度数值会影响一个表面的微平面统计学上的取向度。
  一个比较粗糙的表面会得到更宽阔更模糊的镜面反射（高光），而一个比较光滑的表面则会得到集中而清晰的镜面反射。
  某些PBR引擎预设采用的是对某些美术师来说更加直观的光滑度(Smoothness)贴图而非粗糙度贴图，不过这些数值在采样之时就马上用（1.0 – 光滑度）转换成了粗糙度。

• AO：环境光遮蔽(Ambient Occlusion)贴图或者说AO贴图为表面和周围潜在的几何图形指定了一个额外的阴影因子。
  比如如果我们有一个砖块表面，反射率纹理上的砖块裂缝部分应该没有任何阴影信息。
  然而AO贴图则会把那些光线较难逃逸出来的暗色边缘指定出来。
  在光照的结尾阶段引入环境遮蔽可以明显的提升你场景的视觉效果。
  网格/表面的环境遮蔽贴图要么通过手动生成，要么由3D建模软件自动生成。

美术师们可以在纹素级别设置或调整这些基于物理的输入值，还可以以现实世界材料的表面物理性质来建立他们的材质数据。

这是PBR渲染管线最大的优势之一，因为不论环境或者光照的设置如何改变这些表面的性质是不会改变的，这使得美术师们可以更便捷的获取物理可信的结果。

在PBR渲染管线中编写的表面可以非常方便的在不同的PBR渲染引擎间共享使用，不论处于何种环境中它们看上去都会是正确的，因此看上去也会更自然。