青蛙约会
题目链接:ybt金牌导航8-6-1 / luogu P1516
题目大意
有两个东西在环上各自的位置往同一个方向跳,每次各会跳一定的距离。
然后问你要跳多少次,这两个东西才会在同一个地方。
如果不会在同一个地方,也要按题目要求输出表示。
思路
那我们考虑能不能列出方程。
s + m x = t + n x ( m o d L ) s+mx=t+nx(mod\ L) s+mx=t+nx(mod L)
s , t s,t s,t 分别是两个东西出发的位置, m , n m,n m,n 是两个东西每次跳的格数。
化一下: ( m − n ) x = t − s ( m o d L ) (m-n)x=t-s(mod\ L) (m−n)x=t−s(mod L)。
这是一元线性同余方程,自然会想到把它变成二元一次不定方程,然后用扩展欧几里得来做。
( m − n ) x + L y = t − s (m-n)x+Ly=t-s (m−n)x+Ly=t−s
但是它要有解要有条件,就是 ( m − n ) (m-n) (m−n) 与 L L L 互质。
那如果不互质,就输出不可行,否则我们就继续做。
那你就把左边的两个变成互质: m − n gcd ( m − n , L ) x + L gcd ( m − n , L ) y = t − s gcd ( m − n , L ) \dfrac{m-n}{\gcd(m-n,L)}x+\dfrac{L}{\gcd(m-n,L)}y=\dfrac{t-s}{\gcd(m-n,L)} gcd(m−n,L)m−nx+gcd(m−n,L)Ly=gcd(m−n,L)t−s
(记得之后的模数也要除,因为你这里的 L L L 变成了 L gcd ( m − n , L ) \dfrac{L}{\gcd(m-n,L)} gcd(m−n,L)L,它就表示模数)
但是扩展欧几里得是 a x + b y = 1 ax+by=1 ax+by=1,它的等式右边是 1 1 1 啊。
那简单,我们就把式子的右边看成 1 1 1,算出 x x x,然后再把右边乘回去,就可以了。
然后你就把它弄出来,就可以输出了。
代码
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll x, y, m, n, mo;
ll X, Y, a, b, c;
ll GCD(ll x, ll y) {
//普通的求 gcd
if (!y) return x;
return GCD(y, x % y);
}
ll exgcd(ll a, ll &x, ll b, ll &y) {
//扩展欧几里得求 ax+by=1
if (!b) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
ll re = exgcd(b, y, a % b, x);
y -= a / b * x;
return re;//顺便可以求出 gcd,可用可不用
}
int main() {
scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &x, &y, &m, &n, &mo);
//弄出一元线性同余方程,然后转成二元一次不定方程
a = (m - n + mo) % mo;
b = mo;
c = (y - x + mo) % mo;
int gcd = GCD(a, b);//判断是否有解
if (c % gcd != 0) {
printf("Impossible");
return 0;
}
a /= gcd;//把式子化成 ax+by=c 且 a,b 互质的形式
b /= gcd;
c /= gcd;
exgcd(a, X, b, Y);
X = (X % mo + mo) % mo;
printf("%lld", (X * c) % (mo / gcd));//算出答案(记得这里模数不是mo)
return 0;
}