现代通信原理A.3：随机信号的功率谱估计

部分内容参考
[1] 基于Welch算法的经典功率谱估计的MATLAB分析（http://www.doc88.com/p-3734310145747.html）

  功率谱估计是利用有限长的数据估计信号的功率谱，分为经典谱估计和现代谱估计。下面我们从经典谱估计中的周期图法入手，进一步讨论其改进Welch算法。

1、周期图法

  周期图法有傅立叶变换得到的，因此也称为直接法。若我们有离散的$N$点随机序列$x_N(n),n=0,1,\dots ,N-1$，则可以得到其$N$点离散傅立叶变换（DFT）$X_N(f)$，进一步可以得到对$x(n)$真实功率谱密度$P_X(f)$的估计：
$${\hat{P}}_X(f)=\frac{1}{N}|X_N(f){|}^2=\frac{1}{N}|\sum _{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi fn}{|}^2.\text{\hspace{1em}(1)}$$由于直接法没有统计平均，因此准确性较差，方差性能不好。此外，当数据长度$N$较大时，谱曲线呈现较大起伏；数据长度$N$较小时，谱的分辨率有不好。

下面给出的程序中，首先产生矩形脉冲信号如图1中(a)所示，再用周期图法观察它的功率谱密度。我们采用调用MATLAB中的fft函数以及按照(1)编程计算两种方法进行功率谱估计，结果分别如图1中(b)和©所示。

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%系统参数设置
%-----------------
T_start=0;%开始时间
T_stop=10;%截止时间
T=T_stop-T_start;%仿真持续时间
T_sample=1/10;%采样间隔
f_sample=1/T_sample; % 采样速率
N_sample=T/T_sample;% 采样点数

%-----------------
%产生矩形脉冲
%-----------------
A=1;
n=1:N_sample;
Tg=1;
N_Tg=floor(Tg/T_sample);
x=zeros(1,N_sample);
x(1:N_Tg+1)=A*ones(1,N_Tg+1);
subplot(2,2,[1 2])
plot(n*T_sample,x);

%-------------------------
%功率谱密度估计
%-------------------------
%periodogram
%调用MATLAB中的fft函数
PSD_X1=abs(fft(x)).^2/N_sample;
subplot(2,2,3)
plot(n/N_sample*f_sample,PSD_X1)
%按照公式(1)计算
temp1=[1:N_sample]'*[1:N_sample];
temp2=exp(-j*2*pi/N_sample*temp1);
x_matrix=repmat(x,[N_sample,1]);
PSD_X2=(abs(sum(x_matrix.*temp2,2)).^2/N_sample)';
subplot(2,2,4)
plot(n/N_sample*f_sample,PSD_X2)

图1

2、周期图法的改进算法

  为了改进周期图法，可以采用适当的窗函数对谱进行平滑。其思想是，将$N$点离散序列$x_N(n),n=0,1,\dots ,N$，分成$L$段，每段的长度为$M$，分别求每一段的功率谱密度，然后加以平均。
  如果对分段数据加矩形窗，则第$l$段数据变为
$$x_N^l(n)=x_N[n+(l-1)M]d_1[n+(l-1)M],n=0,1,\dots ,M-1,l=1,2,\dots ,L,$$这里$d_1(n)$表示矩形窗在$n$点的系数。由此，可以得到修正后的平均周期图为
$$\overline{P}(f)=\frac{1}{ML}\sum _{l=1}^L|\sum _{n=0}^{M-1}{x}_N^l(n)e^{-j2\pi nf}{|}^2.$$此方法称为Bartlett法，它可以改善直接法的方差特性。那么信号到底要分多少段？每一段长度应该为多少呢？显然，每一段点数越多，频域分辨率就越高。如果整个信号不分段，那么频域分辨率最高。此外如果一个信号本身点数不太多，那么如果不同段之间有重复交叠（overlapping），显然可以比没有overlapping时频域分辨率高。这就引出了Welch法。
  Welch法是对Bartlett法的改进。Welch法在对$x_N(n)$分段时，允许每段数据存在部分交叠(overlaping），并且每一段的数据窗口可以不采用矩形窗，即
$$\overline{P}(f)=\frac{1}{MU}\sum _{l=1}^L|\sum _{n=0}^{M-1}{x}_N^l(n)d_2(n)e^{-j2\pi nf}{|}^2.$$这里$d_2(n)$表示数据窗口。由于Welch法允许隔断交叠，从而增大了段数$L$，因此可以更好改善估计的方差特性。但数据交叠会减小每段的不相关性。此外，选择合适窗函数可以减小频谱泄露，改善分辨率。

3、MATLAB中应用pwelch函数实现功率谱估计

  我们用MATLAB中的函数pwelch来观察白噪声的功率谱密度，大家在帮助文档里面输入pwelch即可以查到相关说明和示例。这里将部分用法罗列如下：

pxx=pwelch(x) 

【说明】返回输入信号x的PSD估计pxx。如果x为实值，则pxx为单边PSD估计；若x为复值，则pxx为双边PSD估计。每段fft的默认点数为256，因此可以得到129个点的PSD结果。

pxx = pwelch(x,window,noverlap,nfft) 

【说明】这里的’window’表示每次处理的分段数据长度；'noverlap’是指相邻两段数据之间的重叠部分长度；nfft为PSD估计时使用的离散傅立叶变换的点数。默认情况下，nfft为不小于分段数据长度的最小的2的幂与256二者中较大的那一个值。（有点拗口，举例说，如果分段数据长度为100，则不小于它的最小2的幂为128，nfft就为256；若分段数据长度为500，则nfft为512）。显然我们会让nfft尽量大，这样频率分辨率会比较高。显然此时得到的PSD的点数为nfft/2+1，频率分辨率为f_sample/nfft。

 pxx = pwelch(x,window,noverlap,nfft,'centered')

【说明】加入’centered’参数，我们可以生成以零频率（直流）为中心正负对称的PSD，此时PSD的点数等于nfft。

下面我们仍然以上面矩形脉冲信号为例，看看如何用pwelch函数估计其功率谱密度。系统参数设置和波形生成代码见上面代码段，这里不再重复。得到的功率谱密度如图2所示。

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%Welch方法
%------------------------
PSD_X3=pwelch(x,500,100,'centered')*N_sample;
figure(2)
N_fft=max(256,length(PSD_X3));
xx=[-N_fft/2+1:N_fft/2]*(f_sample/N_fft);
plot(xx,PSD_X3)

图2