POJ 1275 二分 + 差分约束系统

题意

传送门 POJ 1275 Cashier Employment

题解

不等式问题，考虑转化为差分约束系统。某个时刻 $i$ 的工作人数为前 $8$ 个小时内开始工作的人数和，将其转化为前缀和 $S$ 的差分。设 $num[i]$ 为工作开始时间为时刻 $i$ 的人数。
$$\{\begin{array}{l}S[i]\ge S[i-1]\\ S[i]-S[i-1]\le num[i]\\ S[i]-S[j]\ge \{\begin{array}{ll}R[i]& i>j\\ R[i]-(S[23]-S[-1])& i<j\end{array},j=(i-8+24)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}24\end{array}$$ 第三类不等式 $i<j$ 的情况不满足差分约束的形式，不等式右侧存在变量 $S[23]-S[-1]$，它代表总工作人数。那么二分答案，在确定 $S[23]-S[-1]$ 的情况下，不等式组就转化为差分约束系统。为方便处理，将索引向右平移一个单位。设当前二分值为 $S[24]-S[0]=x$
$$\{\begin{array}{l}S[i-1]-S[i]\le 0\\ S[i]-S[i-1]\le num[i]\\ S[j]-S[i]\le \{\begin{array}{ll}-R[i]& i>j\\ x-R[i]& i<j\end{array},j=(i-1-8+24)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}24+1\\ S[24]-S[0]\le x\\ S[0]-S[24]\le -x\end{array}$$
$SPFA$ 判定负环即可。总时间复杂度 $O(T^2\log N)$。

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxt = 30, maxm = 3 * maxt + 2;
int T, R[maxt], N, num[maxt], ds[maxt], cnt[maxt];
int tot, head[maxt], to[maxm], cost[maxm], nxt[maxm];
bool in[maxt];

inline void add(int x, int y, int z)
{
    
    
    to[++tot] = y, cost[tot] = z, nxt[tot] = head[x], head[x] = tot;
}

bool SPFA()
{
    
    
    memset(ds, 0x3f, sizeof(ds));
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
    memset(in, 0, sizeof(in));
    ds[0] = 0, in[0] = 1;
    queue<int> q;
    q.push(0);
    while (q.size())
    {
    
    
        int x = q.front();
        q.pop(), in[x] = 0;
        for (int i = head[x]; i; i = nxt[i])
        {
    
    
            int y = to[i], z = cost[i];
            if (ds[x] + z < ds[y])
            {
    
    
                ds[y] = ds[x] + z, cnt[y] = cnt[x] + 1;
                if (cnt[y] > 24)
                    return 0;
                if (!in[y])
                    q.push(y), in[y] = 1;
            }
        }
    }
    return 1;
}

bool judge(int x)
{
    
    
    memset(head, 0, sizeof(head));
    tot = 0;
    for (int i = 1; i <= 24; ++i)
        add(i - 1, i, num[i]), add(i, i - 1, 0);
    for (int i = 1, j; i <= 24; ++i)
    {
    
    
        j = (i - 1 + 16) % 24 + 1;
        add(i, j, i > j ? -R[i] : x - R[i]);
    }
    add(0, 24, x), add(24, 0, -x);
    return SPFA();
}

int main()
{
    
    
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
    
    
        for (int i = 1; i <= 24; ++i)
            scanf("%d", R + i);
        scanf("%d", &N);
        memset(num, 0, sizeof(num));
        for (int i = 1, t; i <= N; ++i)
            scanf("%d", &t), ++num[t + 1];
        int lb = -1, ub = N + 1;
        while (ub - lb > 1)
        {
    
    
            int mid = (lb + ub) >> 1;
            if (judge(mid))
                ub = mid;
            else
                lb = mid;
        }
        if (ub > N)
            puts("No Solution");
        else
            printf("%d\n", ub);
    }
    return 0;
}