【ACWing】1124. 骑马修栅栏

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/1126/

农民John每年有很多栅栏要修理。他总是骑着马穿过每一个栅栏并修复它破损的地方。John是一个与其他农民一样懒的人。他讨厌骑马，因此从来不两次经过一个栅栏。你必须编一个程序，读入栅栏网络的描述，并计算出一条修栅栏的路径，使每个栅栏都恰好被经过一次。John能从任何一个顶点（即两个栅栏的交点）开始骑马，在任意一个顶点结束。每一个栅栏连接两个顶点，顶点用$1$到$500$标号（虽然有的农场并没有$500$个顶点）。一个顶点上可连接任意多（$\ge 1$）个栅栏。所有栅栏都是连通的（也就是你可以从任意一个栅栏到达另外的所有栅栏）。你的程序必须输出骑马的路径（用路上依次经过的顶点号码表示）。我们如果把输出的路径看成是一个$500$进制的数，那么当存在多组解的情况下，输出$500$进制表示法中最小的一个（也就是输出第一个数较小的，如果还有多组解，输出第二个数较小的，等等）。输入数据保证至少有一个解。

输入格式：
第$1$行：一个整数$F$，表示栅栏的数目；第$2$到$F+1$行：每行两个整数$i,j$表示这条栅栏连接$i$与$j$号顶点。

输出格式：
输出应当有$F+1$行，每行一个整数，依次表示路径经过的顶点号。注意数据可能有多组解，但是只有上面题目要求的那一组解是认为正确的。

数据范围：
$1\le F\le 1024$
$1\le i,j\le 500$

相当于求一个欧拉路径，具体算法参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/115060171。题目要求输出字典序最小的路径，只需在DFS的时候，每次都选取编号尽量小的顶点的那条边去走，最后将路径反序即可。注意DFS的时候仍然要做后序遍历，即回溯之前再将顶点加入路径。

有一个细节需要注意。出发点的选取方面，首先一定要选有邻边的点，在此情况下，再找度是奇数的顶点（如果原图不存在欧拉回路，但存在欧拉路，那么出发点和终点是唯二的度为奇数的顶点，选择其一为出发点即可），如果找不到度为奇数的点，那就从任意点出发都可以。

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 510, M = 1050;
int n, m;
// 可以用邻接矩阵存图，这样可以方便的按照从小到大的顺序遍历邻边，
// 其中g[i][j]表示从i到j的边有多少个
int g[N][N];
int res[M], cnt;
// d存每个顶点的度
int d[N];

void dfs(int u) {
    
    
	// 从小到大遍历邻接点
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (g[u][i]) {
    
    
            g[u][i]--, g[i][u]--;
            dfs(i);
        }

    res[++cnt] = u;
}

int main() {
    
    
    cin >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
    
    
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        g[a][b]++, g[b][a]++;
        d[a]++, d[b]++;
        n = max(n, max(a, b));
    }

    int s = 1;
    // 先找到非孤立点
    while (!d[s]) s++;
    // 再找度为奇数的点，如果找到了，则赋给s；如果找不到，那么s也可以作为DFS的起点
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        if (d[i] % 2) {
    
    
            s = i;
            break;
        }

    dfs(s);
	
	// 逆序输出路径
    for (int i = cnt; i; i--) cout << res[i] << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(F)$，空间$O(n^2+F)$，$n$是顶点个数。