高级建模方法（Gurobi）：线性化、分段线性函数、逻辑变量/约束

乘积式

(1) $y=x_1\ast x_2$,$x_1,x_2$ $\in$ {0,1}
当$x_1=0$, 则$y\le M{x}_1=x_1$
当$x_2=0$, 则$y\le M{x}_2=x_2$
当$x_1=1$, 则$y\le x_1\ast x_2=x_2$，$x_2-y\le M(1-x_1)=(1-x_1)$，即$x_1+x_2-1\le y$

(2)$y=x_1\ast x_2$,$x_1$ $\in$ {0,1}, $x_2\in [0,u]$
当$x_1=0$, 则$y\le M{x}_1=x_1$
当$x_2\in [0,u]$, 则$0\le y\le M{x}_2=u\ast x_2$
当$x_1=1$, 则$y\le x_1\ast x_2=x_2$，$x_2-y\le M(1-x_1)=u(1-x_1)$，即$x_2-u(1-x_1)\le y$

(3)$y=x_1\ast x_2$,$x_1$ $\in$ {0,1}, $x_2\in [l,u],0\le l$
当$m\ast x_1\le x_1\ast x_2\le M\ast x_1$, 则$l{x}_1\le y\le u\ast x_1$
当$m\ast x_2\le y\le M\ast x_2$, 则$0\le y\le x_2$
当$x_1=1$, 则$y\le x_1\ast x_2=x_2$，$x_2-y\le M(1-x_1)=u(1-x_1)$，即$x_2-u(1-x_1)\le y$

绝对值

$\max |x|$, big-M

max ⁡ z z = x p + x n max ⁡ ∣ x ∣ ⟶ x = x p − x n x p ≤ M y x n ≤ M ( 1 − y ) y ∈ { 0 , 1 } , 0 ≤ x p , x n \begin{array}{ll} &\max z \\ & z=x_{p}+x_{n} \\ \max |x| \quad \longrightarrow \quad & x=x_{p}-x_{n} \\ & x_{p} \leq M y \\ & x_{n} \leq M(1-y) \\ & y \in\{0,1\}, 0 \leq x_{p}, x_{n} \end{array} max∣x∣⟶​maxzz=xp​+xn​x=xp​−xn​xp​≤Myxn​≤M(1−y)y∈{ 0,1},0≤xp​,xn​​

• 优点：LP relaxation更紧，当M较小时表现会更好；
• 缺点：当x可以为无穷大/没有约束时，big-M不能取到。

$\max |x|$, SOS-1约束

$$\begin{array}{ll}& \max z\\ & z=x_p+x_n\\ \max |x|⟶& x=x_p-x_n\\ & x_p,x_n\in SOS-1\end{array}$$

• 优点：不需要big-M,且总是成立的。
• SOS（special ordered sets，特殊顺序集）是指一组有序集合里，顶多有一个非零值（SOS1 型），或顶多有两个非零值（SOS2 型）
  Note： gurobi在presolve的时候往往会将SOS约束转换成Big-M的约束

addGenConstrAbs(y, x)

分段线性函数

SOS2表示法

假设$(x_i,y_i)$是第$i^{th}$的端点，当 $y=f(x)$是凸函数时，则SOS-2约束时冗余的。
$$\begin{array}{c}x={\sum }_i{\lambda }_i{x}_i\\ y={\sum }_i{\lambda }_i{y}_i\\ {\sum }_i{\lambda }_i=1\\ {\lambda }_i\ge 0,\text{ SOS2 }\end{array}$$

0-1变量表示法

z 1 ⩽ y 1 z 2 ⩽ y 1 + y 2 z 3 ⩽ y 2 + y 3 … z n − 1 ⩽ y n − 2 + y n − 1 z n ⩽ y n − 1 y 1 + y 2 + … + y n − 1 = 1 z 1 + z 2 + … + z n = 1 x = z 1 x 1 + z 2 x 2 + … + z n x n y = z 1 y 1 + z 2 y 2 + … + z n y n y i ∈ { 0 , 1 } ∀ i = 1 , 2 , ⋯   , n − 1 z i ⩾ 0 , ∀ i = 1 , 2 , ⋯   , n \begin{aligned} &z_{1} \leqslant y_{1}\\ &z_{2} \leqslant y_{1}+y_{2}\\ &z_{3} \leqslant y_{2}+y_{3}\\ &\ldots\\ &z_{n-1} \leqslant y_{n-2}+y_{n-1}\\ &z_{n} \leqslant y_{n-1}\\ &y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{n-1}=1\\ &z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{n}=1\\ &x=z_{1} x_{1}+z_{2} x_{2}+\ldots+z_{n} x_{n}\\ &y=z_{1} y_{1}+z_{2} y_{2}+\ldots+z_{n} y_{n}\\ &y_{i} \in\{0,1\}\\ &\forall i=1,2, \cdots, n-1\\ &z_{i} \geqslant 0, \quad \forall i=1,2, \cdots, n \end{aligned} ​z1​⩽y1​z2​⩽y1​+y2​z3​⩽y2​+y3​…zn−1​⩽yn−2​+yn−1​zn​⩽yn−1​y1​+y2​+…+yn−1​=1z1​+z2​+…+zn​=1x=z1​x1​+z2​x2​+…+zn​xn​y=z1​y1​+z2​y2​+…+zn​yn​yi​∈{ 0,1}∀i=1,2,⋯,n−1zi​⩾0,∀i=1,2,⋯,n​

$\min$/$\max$

$\min$$\max$

$$\min \left\{\underset{i}{\max }{x}_i\right\}⟶\begin{array}{l}\min z\\ z\ge x_i\forall i\end{array}$$

$\min$$\min$

min ⁡ z min ⁡ { min ⁡ i x i } ⟶ z ≥ x i − M ( 1 − y i ) ∑ i y i = 1 y i ∈ { 0 , 1 } \begin{array}{l} & \min _{z} \\ \min \left\{\min _{i} x_{i}\right\}\longrightarrow& z \geq x_{i}-M\left(1-y_{i}\right) \\ & \sum_{i} y_{i}=1 \\ & y_{i} \in\{0,1\} \end{array} min{ mini​xi​}⟶​minz​z≥xi​−M(1−yi​)∑i​yi​=1yi​∈{ 0,1}​

变量-逻辑表达式

注意，以下$y$ $\in$ {0,1}

与

$$x_1=1\wedge x_2=1x_1+x_2=2$$
$$\begin{array}{rlrl}y=\left(x_1=1\wedge x_2=1\right)& ⟶& y& \le x_1\\ & & y& \le x_2\\ & & y& \ge x_1+x_2-1\end{array}$$

addGenConstrAnd(y, [x1,x2])

或

$$x_1=1\vee x_2=1，x_1+x_2\ge 1$$
$$\begin{array}{rlrl}y=\left(x_1=1\vee x_2=1\right)& ⟶& y& \ge x_1\\ & & y& \ge x_2\\ & & y& \le x_1+x_2\end{array}$$

addGenConstrOr(y, [x1,x2])

异或

$$x_1=1\text{ xor }{x}_2=1x_1+x_2=1$$
$$\begin{array}{rlrl}y=\left(x_1=1\text{ xor }{x}_2=1\right)& ⟶& y& \ge x_1-x_2\\ & & y& \ge x_2-x_1\\ & & y& \le x_1+x_2\\ & & y& \le 2-x_1-x_2\end{array}$$

If-then条件

• if $x_1=1$ then $x_2=1$，则$x_1\le x_2$
• if $z=1$, then $x_1+2\ast x_2-x_3\ge 2$

addGenConstrIndicator(z, 1, x1+2*x2-x3 >= 2)

半连续变量

半连续变量的表示

$x=0\vee 40\le x\le 100$
$⟶$ $40y\le x\le 100y$, $y$ $\in${0,1}

x = model.addVar(vtype=GRB.SEMICONT, lb=40, ub=100, name="x") 
x = model.addVar(vtype=GRB.SEMIINT, lb=40, ub=100, name="x")

限制半连续变量的数量

$40y_i\le x_i\le 100y_i$, $y_i$ $\in${0,1}, ${\sum }_i{y}_i\le 30$

大M的取值选择

$$\begin{array}{c}{x}_1+x_2\le 10+My\\ \text{ if }{x}_1,x_2\le 100,\text{ then }M=190\end{array}$$

约束-逻辑不等式（或）

约束-逻辑等式（或）

至少（at least）

至少m个约束满足，则${\sum }_{i=1}^k{y}_i\ge m$

max_(), min_(), abs_(), and_(), or_(), any_()
model.addConstr(x == abs_(y)) 
model.addConstr(x == or_(y,z,w))
X, Y, Gcons =
model.addVars(10),model.addVars(10), {
    
    } 
for i in X:
  Gcons[i] = model.addGenConstrMin(X[i], [Y[i], 10], name="Gc")