前面博客中介绍了数学模型中的微分方程，接下了继续讨论数学模型
1. 非线性微分方程的线性化
严格来说，几乎所有的原件或系统的运动方程都是非线性方程。输入、输出和扰动等之间的关系都是非线性的。非线性微分方程的求解和控制系统性能研究十分复杂，线性化后可以简化系统分析。
因此，研究非线性微分方程的线性化具有较强的工程实用价值。
在一定条件下或一定范围内把非线性的数学模型化为线性模型的处理方法就是非线性数学模型的线性化。
1.1 可以线性化的条件
一，小偏差理论和小信号理论。
在工程实践中，控制系统都有一个额定的工作状态和工作点，当变量在工作点附近小范围的变化事，满足这个条件。
只有在这个情况下转化之后的误差才足够小。
二，在工作点附近存在各阶倒数和偏导数
一元函数，一个y对应一个x，导数只有一个。二元函数，一个z对应一个x和一个y，那就有两个导数了，一个是z对x的导数，一个是z对y的导数,称之为偏导，即输入与输出的导数都存在。
这个是能够转化的条件。
1.2 线性转化的方法
小偏差法：在给定工作点的领域将线性函数展开为泰勒级数，忽略级数中的二阶和以上项，得到只包含偏差的一次项的线性方程。
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。
若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小
如下是一个数学例子
以下是一个工程数学问题例子
1.3 线性转化的注意点
首先需要确定工作点：线性化是针对工作点进行的，工作点不同得到的线性化方程的系数也不同，因此首先需要确定工作点
只适应于在工作点变化小的系统：在线性化的过程中，忽略了二阶以上的无穷小项目，如果实际系统中输入量变化范围较大时，采用小偏差法建立线性模型必然会带来较大的误差
线性化后的方程通常是增量方程。
只有满足前面两个条件的才可以：若描述非线性特性的函数具有间断点、折断点或非单值关系而无法作线性化处理时，则控制系统只能应用非线性理论来研究，本质非线性系统无法进行线性化。
2. 传递函数
2.1 引入传递函数的原因
微分方程模型的优缺点：
一，是时间域的数学模型，比较直观。
二，借助于电子计算机可以迅速而准确的求得结果。
三，不便于分析结构或参数变化对系统性能的影响。
因此，微分方程的方法研究控制系统对于参数变化或结构形式的改变的分析具有局限性。
传递函数的优点与局限性：
一，传递函数是复数域的数学模型
二，在研究系统结构或参数变化对性能的影响方面非常方便
三，线性定常系统才有传递函数。
2.2 传递函数的定义
定义： 线性定常系统的传递函数，是在零初始条件下系统输出量的拉普拉斯变换与系统输入量的拉普拉斯变换之比。
以下是传递函数的标准形式
以下是传递函数几个概念
以下是传递函数的其它形式
因式分解：把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
2.3 传递函数的性质
一， 传递函数与微分方程：将微分方程算符d/dt用复数s置换可以得到传递函数。反之亦然。
二，传递函数反映系统自身固有特性，与输入和初始条件无关。
三，不同的物理系统可能有相同的传递函数，而同一系统可以有不同的传递函数。
四， 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系，如果是多输入多输出系统，可以用传递函数阵表示。
对于m个输入、n个输出的线性定常系统，传递函数矩阵是一个个输出的线性定常系统，传递函数矩阵是一个n×m阶矩阵
五，传递函数与单位脉冲响应之间是拉氏变换与拉氏反变换的关系。
六，一般情况下，传递函数分子的阶数m与分母的阶数n满足n≥m (称为物理现实性条件)
2.4 不满足零初始条件的传递函数
系统的响应等于零输入响应和零状态响应零状态响应之和
则传递函数为零状态响应之和。
例子：
