自动控制原理(考研)理论篇--第七章(线性离散系统的分析与校正)

导语

本博文基于自动控制原理(胡寿松第六版)全书，将知识点总结，便于同学们的复习，该篇属于自动控制原理的理论篇，理论性东西较多，阅读起来难免有点枯燥，但既然坚持了，那就把它读完吧，因作者也是在复习考研，也是刚毕业的大学生，总结的东西难免会有所纰漏，如发现，请在评论区提醒，望共同进步，考研成功上岸！

7.1 离散系统的基本概念

1. 基本概念
   a.这些信号在全部时间上都是已知的，则这样的系统称为连续时间系统，简称连续系统；
   b.如果控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，这样的系统称为离散时间系统，简称离散系统；
   c.把系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统，称为采样控制系统或脉冲控制系统；把数字序列形式的离散系统，称为数字控制系统或计算机控制系统。
2. 采样控制系统
   采样系统是对来自传感器的连续信息在某些规定的时间瞬时上取值；
   如果在有规律的间隔上，系统取到了离散信息，则这种采样称为周期采样；
   如果信息之间的间隔是时变的，或随机的，则称为非周期采样，或随机采样。
   测量元件、执行元件和被控对象是模拟元件，其输入输出是连续信号，即时间上和幅值上都连续的信号，称为模拟信号；控制器中的脉冲元件，其输入和输出为脉冲序列，即时间上离散而幅值上连续的信号，称为离散模拟信号。
   a.信号采样和复现
   采样：在采样控制系统中，把连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样过程，简称采样；
   实现采样的装置称为采样器，或采样开关。$用T表示采样周期，单位为s；f_s=1/T表示采样频率，单位为s^{-1}；{\omega }_s=2\pi f_s=2\pi /T表示采样角频率，单位为rad/s$。
   在采样系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现过程，实现复现过程的装置称为保持器。
   b.采样系统的典型结构图
   如果采样器位于系统闭环回路之外，或系统本身不存在闭合回路，则称为开环采样系统；
   如果采样器位于系统闭合回路之内，则称为闭环采样系统。
   
   $$\begin{gathered} 图中： \\ {G}_h(s)为保持器的传递函数； \\ {G}_0(s)为被控对象的传递函数； \\ H(s)为测量变送反馈元件的传递函数。 \end{gathered}$$
3. 数字控制系统
   数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统，数字控制系统包括工作于离散状态下的数字计算机和工作于连续状态下的被控对象两大部分。
   计算机控制系统的典型原理图如下图：
   
   a.A/D转换器
   A/D转换器是把连续的模拟信号转换为离散数字信号的装置，A/D转换包括：采样过程和量化过程。
   b.D/A转换器
   D/A转换器是把离散的数字信号转换为连续模拟信号的装置，D/A转换包括：解码过程和复现过程；
   解码过程：把离散数字信号转换为离散的模拟信号；
   复现过程：因为离散的模拟信号无法直接控制连续的被控对象，需要经过保持器将离散模拟信号复现为连续的模拟信号。
   数字控制系统典型结构图如下：
   

7.2 信号的采样与保持

1. 采样过程
   把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器，又称为采样开关；
   $$e^{\ast }(t)=e(t){\delta }_T(t)$$
   $$\begin{gathered} 式中： \\ {e}^{\ast }(t)为理想采样器的输出信号； \\ e(t)为输入连续信号； \\ {\delta }_T(t)为载波信号。 \end{gathered}$$
   $理想脉冲序列{\delta }_T可以表示为$：
   $${\delta }_T(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)$$
   $式中：\delta (t-nT)是出现在时刻t=nT、强度为1的单位脉冲$；
   因此：
   $$e^{\ast }(t)=e(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)$$
   由于$e(t)$的数值在采样瞬时才有意义，因此：
   $$e^{\ast }(t)=\sum _{n=0}^{\infty }e(nT)\delta (t-nT)$$
2. 采样过程的数学描述
   a.采样信号的拉氏变换
   $$E^{\ast }(s)=z[e^{\ast }(t)]=z[\sum _{n=0}^{\infty }e(nT)\delta (t-nT)]$$
   因此，采样信号的拉氏变换为：
   $$E^{\ast }(s)=\sum _{n=0}^{\infty }e(nT)e^{-nTs}$$
3. 香农采样定理
   $香农采样定理指出：如果采样器的输入信号e(t)具有有限带宽，并且有直到{\omega }_h的频率分量，则使信号e(t)圆满地从采样信号e^{\ast }(t)中恢复过来的采样周期T，满足条件：$
   $$T\le \frac{2\pi }{2{\omega }_h}，等价于：{\omega }_s\ge 2{\omega }_h$$
4. 采样周期的选取
   
5. 信号保持
   a.保持器的数学描述
   在采样时刻上，连续信号的函数值与脉冲序列的脉冲强度相等，在nT时刻，有：
   $$e(t){|}_{t=nT}=e(nT)=e^{\ast }(nT)$$
   在(n+1)T时刻，有：
   $$e(t){|}_{t=(n+1)T}=e[(n+1)T]=e^{\ast }[(n+1)T]$$
   保持器是具有外推功能的元件，保持器的外推作用，表现为现在时刻的输出信号取决于时刻离散信号的外推，用如下多项式外推公式描述保持器：
   $$e(nT+\Delta t)=a_0+a_1\Delta t+a_2(\Delta t{)}^2+\cdots +a_m(\Delta t{)}^m$$
   $式中：\Delta t是以nT时刻为原点的坐标。$
   $上式表示：现在时刻的输出e(nT+\Delta t)的值，取决于\Delta t=0，-T，-2T，\dots ，-mT各过去时刻的离散信号e^{\ast }(nT)，e^{\ast }[(n-1)T]，e^{\ast }[(n-2)T]，\dots ，e^{\ast }[(n-m)T]的(m+1)个值。这样的保持器称为m阶保持器。若取m=0，则称为零阶保持器；m=1，称为一阶保持器。$
   b.零阶保持器
   零阶保持器的外推公式为：
   $$e(nT+\Delta t)=a_0$$
   零阶保持器的数学表达式为：
   $$e(nT+\Delta t)=e(nT)，0\le \Delta t<T$$
   $上式说明：零阶保持器是一种按常值外推的保持器，它把前一采样时刻nT的采样值e(nT)一直保持到下一采样时刻(n+1)T到来之前，从而使采样信号e^{\ast }(t)变成阶梯信号e_h(t)$。
   零阶保持器的传递函数：
   $$G_h(s)=\frac{1-e^{-Ts}}{s}$$
   零阶保持器特性：
   ① 低通特性。由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减，说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器；
   ② 相角滞后特性。由相频特性可见，零阶保持器要产生相角滞后，且随$\omega$的增大而加大，在$\omega ={\omega }_s$处，相角滞后可达-180°，从而使闭环系统的稳定性变差；
   ③ 时间滞后特性。零阶保持器的输出为阶梯信号$e_h(t)$，其平均响应为$e[t-(T/2)]$，表明其输出比输入在时间上要滞后$T/2$，相当于给系统增加了一个延迟时间为$T/2$的延迟环节，使系统总的相角滞后增大，对系统的稳定性不利；此外，零阶保持器的阶梯输出同时增加了系统输出中的纹波。

7.3 z变换理论

1. $z变换定义$
   采样信号$e^{\ast }(t)$，表达式为：
   $$e^{\ast }(t)=\sum _{n=0}^{\infty }e(nT)\delta (t-nT)$$
   采样信号的拉氏变换：
   $$E^{\ast }(s)=\sum _{n=0}^{\infty }e(nT)e^{-nsT}$$
   $令变量z=e^{sT}，其中T为采样周期，z是复数平面上定义的一个复变量，通常称为z变换算子。$
   则采样信号的$z$变换定义为：
   $$E(z)=E^{\ast }(s){|}_{s=\frac{1}{T}lnz}=\sum _{n=0}^{\infty }e(nT)z^{-n}$$
   记为：
   $$E(z)=z[e^{\ast }(t)]=z[e(t)]$$
2. $z变换方法$
   a.级数求和法
   级数求和法是直接根据$z$变换的定义，将下式：
   $$E(z)=E^{\ast }(s){|}_{s=\frac{1}{T}lnz}=\sum _{n=0}^{\infty }e(nT)z^{-n}$$
   写成展开形式：
   $$E(z)=e(0)+e(T)z^{-1}+e(2T)z^{-2}+\cdots +e(nT)z^{-n}+\dots$$
   b.部分分式法
   先求出已知连续时间函数$e(t)$的拉氏变换$E(s)$，然后将有理分式函数$E(s)$展开成部分分式之和的形式，使每一部分分式对应简单的时间函数，其相应的$z$变换是已知的，于是可方便地求出$E(s)$对应的$z$变换$E(s)$。
   
3. $z变换性质$
   a.线性定理
   $若E_1(z)=z[e_1(t)，E_2(z)=z[e_2(t)]，a为常数，则有：$
   $$z[e_1(t)\pm e_2(t)]=E_1(z)\pm E_2(z)，z[ae(t)]=aE(z)，其中：E(z)=z[e(t)]$$
   b.实数位移定理
   实数位移定理含意：指整个采样序列在时间轴上左右平移，其中向左平移为超前，向右平移为滞后。如果函数$e(t)$是可拉氏变换的，其$z$变换为$E(z)$，则有
   滞后定理：
   $$z[e(t-kT)]=z^{-k}E(z)$$
   $其中：z^{-k}代表时域中的滞后环节，将采样信号滞后k个采样周期$。
   超前定理：
   $$z[e(t+kT)]=z^k[E(z)-\sum _{n=0}^{k-1}e(nT)z^{-n}]$$
   $其中：z^k代表时域中超前环节，它把采样信号超前k个采样周期$。
   c.复数位移定理
   如果函数$e(t)$是可拉氏变换的，其$z$变换为$E(z)$，则有：
   $$z[e^{\mp at}e(t)]=E(z{e}^{\pm aT})$$
   复数位移定理含意：函数$e^{\ast }(t)$乘以指数序列$e^{\mp ant}$的$z$变换就等于在$e^{\ast }(t)$的$z$变换表达式$E(z)$中，以$z{e}^{\pm aT}$取代原算子$z$。
   d.终值定理
   $如果函数e(t)的z变换为E(z)，函数序列e(nT)为有限值(n=0,1,2,\dots )，且极限{\lim }_{n\to \infty }e(nT)存在，则函数序列的终值为$：
   $$\underset{n\to \infty }{\lim }e(nT)=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)E(z)$$
   或者
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{n\to \infty }{\lim }e(nT)=\underset{z\to 1}{\lim }(1-z^{-1})E(z)$$
   e.卷积定理
   $设x(nT)和y(nT)为两个采样函数，其离散卷积定义为$：
   $$x(nT)\ast y(nT)=\sum _{k=0}^{\infty }x(kT)y[(n-k)T]$$
   由卷积定理，若：
   $$g(nT)=x(nT)\ast y(nT)$$
   必有：
   $$G(z)=X(z)\cdot Y(z)$$
   卷积定理指出：两个采样函数卷积的$z$变换，就等于该两个采样函数相应$z$变换的乘积。
4. $z反变换$
   $z反变换：已知z变换表达式E(z)，求相应离散序列e(nT)的过程，记为：$
   $$e(nT)=z^{-1}[E(z)]$$
   a.部分分式法(查表法)
   $设已知的z变换函数E(z)无重极点，先求出E(z)的极点z_1,z_2,\dots ,z_n，再将E(z)/展开成如下部分分式之和$：
   $$\frac{E(z)}{z}=\sum _{i=1}^n\frac{A_i}{z-z_i}$$
   $其中：A_i为E(z)/z在极点z_i处的留数，可得$：
   $$E(z)=\sum _{i=1}^n\frac{A_{i}z}{z-z_i}$$
   得到：
   $$e_i(nT)=z^{-1}[\frac{A_{i}z}{z-z_i}]，i=1,2,\dots ,n$$
   $可得对应的采样函数$：
   $$e^{\ast }(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{i=1}^n{e}_i(nT)\delta (t-nT)$$
   b.幂级数法(综合除法)
   $将z变换函数E(z)表示为按z^{-1}升幂排列的两个多项式之比：$
   $$E(z)=\frac{b_0+b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}+\cdots +b_m{z}^{-m}}{1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+\cdots +a_n{z}^{-n}}，m\le n$$
   $其中：a_i(i=1,2,\dots ,n)和b_j(j=0,1,\dots ,m)均为常系数。$
   将上式作综合除法，可得：
   $$E(z)=c_0+c_1{z}^{-1}+c_2{z}^{-2}+\cdots +c_n{z}^{-n}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{z}^{-n}$$
   可得$e^{\ast }(t)$的脉冲序列表达式：
   $$e^{\ast }(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n\delta (t-nT)$$
   c.反演积分法(留数法)
   $$e(nT)=\sum _{i=1}^{k}Res[E(z)z^{n-1}{]}_{z\to z_i}$$
   $式中：Res[E(z)z^{n-1}{]}_{z\to z_i}表示函数E(z)z^{n-1}在极点z_i处的留数。$
   留数的计算方法：
   ① $若z_i(i=1,2,\dots ,k)为单极点，则有：$
   $$Res[E(z)z^{n-1}{]}_{z\to z_i}=\underset{z\to z_i}{\lim }[(z-z_i)E(z)z^{n-1}]$$
   ② $若E(z)z^{n-1}有n阶重极点z_i，则有：$
   $$Res[E(z)z^{n-1}{]}_{z\to z_i}=\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\to z_i}{\lim }\frac{d^{n-1}[(z-z_i{)}^{n}E(z)z^{n-1}]}{d{z}^{n-1}}$$

7.4 离散系统的数学模型

线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数、离散状态空间表达式。

1. 线性常系数差分方程及其解法
   a.线性常系数差分方程表达式
   $对于一般线性定常离散系统，k时刻的输出c(k)不但与k时刻的输入r(k)有关，而且与k时刻以前的输入r(k-1)，r(k-2)，\dots ,有关，同时还与k时刻以前的输出c(k-1)，c(k-2)，\dots 有关，这种关系一般可以用n阶后向差分方程来描述$：
   $$\begin{gathered} c(k)+a_{1}c(k-1)+a_{2}c(k-2)+\cdots +a_{n-1}c(k-n) \\ =b_{0}r(k)+b_{1}r(k-1)+\cdots +b_{m-1}r(k-m+1)+b_{m}r(k-m) \end{gathered}$$
   可表示为：
   $$c(k)=-\sum _{i=1}^n{a}_{i}c(k-i)+\sum _{j=0}^m{b}_{j}r(k-j)$$
   $$\begin{gathered} 式中： \\ {a}_i(i=1,2,3,\dots ,n)和b_j(j=0,1,2,\dots ,m)为常系数，m\le n；上式称为n阶线性常系数差分方程。 \end{gathered}$$
   b.差分方程解法
   ① 迭代法
   已知差分方程，并且给定输出序列的初值，可以利用递推关系，一步一步算出输出序列。
   ② $z$变换法
   已知差分方程，对差分方程两端取$z$变换，并利用$z$变换的实数位移定理，得到以$z$为变量的代数方程，然后对代数方程的解$c(z)$取$z$反变换，求得输出序列$c(k)$。
2. 脉冲传递函数
   a.脉冲传递函数定义
   设开环离散系统如下图所示：
   
   如果系统的初始条件为零，输入信号为$r(t)$，采样后$r^{\ast }(t)$的$z$变换函数为$R(z)$，系统连续部分的输出为$c(t)$，采样后$c^{\ast }(t)$的$z$变换函数为$C(z)$，则线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为系统输出采样信号的$z$变换与输入采样信号的$z$变换之比，记为：
   $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{{\sum }_{n=0}^{\infty }c(nT)z^{-n}}{{\sum }_{n=0}^{\infty }r(nT)z^{-n}}$$
   $注：零初始条件：指在t<0时，输入脉冲序列各采样值r(-T),r(-2T),\dots 以及输出脉冲序列各采样值c(-T),c(-2T),\dots ,均为零$。
   如果已知$R(z)$和$G(z)$，则在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号为：
   $$c^{\ast }(t)=z^{-1}[C(z)]=z^{-1}[G(z)R(z)]$$
   b.脉冲传递函数意义
   如果描述线性定常离散系统的差分方程为：
   $$c(nT)=-\sum _{k=1}^n{a}_{k}c[(n-k)T]+\sum _{k=0}^m{b}_{k}r[(m-k)T]$$
   在零初始条件下，对上式进行$z$变换，并应用$z$变换的实数位移定理，得：
   $$C(z)=-\sum _{k=1}^n{a}_{k}C(z)z^{-k}+\sum _{k=0}^m{b}_{k}R(z)z^{-k}$$
   整理可得：
   $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{{\sum }_{k=0}^m{b}_k{z}^{-k}}{1+{\sum }_{k=1}^n{a}_k{z}^{-k}}$$
   c.脉冲传递函数求法
   $由G(s)求G(z)的过程：先求G(s)的拉氏反变换，得到脉冲过渡函数K(t)，再将K(t)按采样周期离散化，得到加权序列K(nT)，最后将K(nT)进行z变换。$
3. 开环系统脉冲传递函数
   a.采样拉氏变换的两个重要性质
   ① 采样函数的拉氏变换具有周期性
   $$G^{\ast }(s)=G^{\ast }(s+jk{\omega }_s)，{\omega }_s为采样角频率。$$
   ② 若采样函数的拉氏变换$E^{\ast }(s)$与连续函数的拉氏变换$G(s)$相乘后再离散化，则$E^{\ast }(s)$可以从离散符号中提出来，即：
   $$[G(s)E^{\ast }(s){]}^{\ast }=G^{\ast }(s)E^{\ast }(s)$$
   b.有串联环节时的开环系统脉冲传递函数
   ① 串联环节之间有采样开关
   
   $如上图所示，在两个串联连续环节G_1(s)和G_2(s)之间，有理想采样开关隔开，可得：$
   $$D(z)=G_1(z)R(z)，C(z)=G_2(z)D(z)$$
   $其中：G_1(z)和G_2(z)分别为G_1(s)和G_2(s)的脉冲传递函数，因此：$
   $$C(z)=G_2(z)G_1(z)R(z)$$
   $开环系统脉冲传递函数如下：$
   $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=G_1(z)G_2(z)$$
   $上式表明：有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节各自的脉冲传递函数之积。$
   ② 串联环节之间无采样开关
   
   $如上图所示，在两个串联连续环节G_1(s)和G_2(s)之间，无理想采样开关隔开，可得：$
   $$C(s)=G_1(s)G_2(s)R^{\ast }(s)$$
   $式中：R^{\ast }(s)为输入采样信号r^{\ast }(t)的拉氏变换，对C(s)进行离散化，可得：$
   $$C^{\ast }(s)=[G_1(s)G_2(s)R^{\ast }(s){]}^{\ast }=[G_1(s)G_2(s){]}^{\ast }{R}^{\ast }(s)=G_1{G}_2^{\ast }(s)R^{\ast }(s)$$
   $对上式取z变换，可得：$
   $$C(z)=G_1{G}_2(z)R(z)$$
   $式中：G_1{G}_2(z)是G_1(s)和G_2(s)乘积的z变换，因此，开环系统脉冲传递函数为：$
   $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)=G_1{G}_2(z)}$$
   $上式表明：没有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节传递函数乘积后的相应z变换。$
   
   c.有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数
   
   $有零阶保持器时，开环系统脉冲传递函数为：$
   $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=(1-z^{-1})z[\frac{G_0(s)}{s}]$$
   $注：零阶保持器不影响离散系统脉冲传递函数的极点。$
4. 闭环系统脉冲传递函数
   常见的误差采样闭环离散系统结构图如下：
   
   由上图可得，连续输出信号和误差信号的拉氏变换为：
   $$C(s)=G(s)E^{\ast }(s)，E(s)=R(s)-H(s)C(s)$$
   因此有：
   $$E(s)=R(s)-H(s)G(s)E^{\ast }(s)$$
   误差采样信号$e^{\ast }(t)$的拉氏变换为：
   $$E^{\ast }(s)=R^{\ast }(s)-H{G}^{\ast }(s)E^{\ast }(s)$$
   可得：
   $$E^{\ast }(s)=\frac{R^{\ast }(s)}{1+H{G}^{\ast }(s)}$$
   因此：
   $$C^{\ast }(s)=[G(s)E^{\ast }(s){]}^{\ast }=G^{\ast }(s)E^{\ast }(s)=\frac{G^{\ast }(s)}{1+H{G}^{\ast }(s)}{R}^{\ast }(s)$$
   对上两式进行$z$变换：
   $$E(z)=\frac{1}{1+HG(z)}R(z)，C(z)=\frac{G(z)}{1+HG(z)}R(z)$$
   定义闭环离散系统对于输入量的误差脉冲传递函数：
   $${\Phi }_e(z)=\frac{E(z)}{R(z)}=\frac{1}{1+HG(z)}$$
   定义闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数：
   $$\Phi (z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{G(z)}{1+HG(z)}$$
   典型闭环离散系统及输出$z$变换函数：
   
   
   
   
   
   
   
   
5. $z$变换法的局限性
   $a.z变换法的推导是建立在假定采样信号可以用理想脉冲序列来近似的基础上，每个理想脉冲的面积，等于采样瞬时上的时间函数$；
   $b.输出z变换函数C(z)，只确定了时间函数c(t)在采样瞬时上的数值，不能反映c(t)在采样间隔中的信息，因此，对于任何C(z)，z反变换c(nT)只能代表c(t)在采样瞬时时t=nT(n=0,1,2\dots )时的数值$；
   $c.用z变换法分析离散系统时，系统连续部分传递函数G(s)的极点数至少要比零点数多两个，即G(s)的脉冲过渡函数K(t)在t=0时必须没有跳跃，或满足$：
   $$\underset{s\to \infty }{\lim }sG(s)=0$$
   $否则，用z变换法得到的系统采样输出c^{\ast }(t)与实际连续输出c(t)差别较大，甚至完全不符。$

7.5 离散系统的稳定性与稳态误差

1. $离散系统稳定的充分必要条件$
   线性定常连续系统中，系统稳定的充分必要条件：系统齐次微分方程的解是收敛的，或者系统特征方程的根均具有负实部，或者系统传递函数的极点均位于$s$左半平面。
   a.定义：若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称为该离散系统是稳定的；
   线性定常离散系统，时域中的数学模型是线性定常差分方程，$z$域中的数学模型是脉冲传递函数。
   ① 时域中离散系统稳定的充分必要条件
   设线性定常差分方程如下：
   $$c(k)=-\sum _{i=1}^n{a}_{i}c(k-i)+\sum _{j=0}^m{b}_{j}r(k-i)$$
   其齐次差分方程为：
   $$c(k)+\sum _{i=1}^n{a}_{i}c(k-i)=0$$
   设通解为$A{\alpha }^l$，代入齐次方程，得：
   $$A{\alpha }^l({\alpha }^0+a_1{\alpha }^{-1}+\cdots +a_n{\alpha }^{-n})=0$$
   因为$A{\alpha }^l\ne 0$，因此有：
   $${\alpha }^0+a_1{\alpha }^{-1}+\cdots +a_n{\alpha }^{-n}=0$$
   以${\alpha }_n$乘以上式，得差分方程的特征方程为：
   $${\alpha }^n+a_1{\alpha }^{n-1}+a_2{\alpha }^{n-2}+\cdots +a_n=0$$
   设特征方程有各不同的特征根${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$，则差分方程的通解为：
   $$c(k)=A_1{\alpha }_1^l+A_2{\alpha }_2^l+\cdots +A_n{\alpha }_n^l=\sum _{i=1}^n{A}_i{\alpha }_i，k=0,1,2,\dots$$
   $式中：系数A_i可由给定的n个初始条件决定。$
   $系统稳定的充分必要条件是：当且仅当差分方程所有特征根的模|{\alpha }_i|<1(i=1,2,\dots ,n)，相应的线性定常离散系统是稳定的。$
   ② $z$域中离散系统稳定的充分必要条件
   设典型离散系统结构图如下：
   
   其特征方程为：
   $$D(z)=1+GH(z)=0$$
   $$\begin{gathered} s域与z域的映射关系： \\ s左半平面映射为z平面上的单位圆内的区域，对应稳定区域； \\ s右半平面映射为z平面上的单位圆外的区域，对应不稳定区域； \\ s平面上的虚轴，映射为z平面上的单位圆周，对应临界稳定情况。 \end{gathered}$$
   设上特征方程的根的极点为各不相同的$z_1,z_2,\dots ,z_n$，则在$z$域中，线性定常离散系统稳定的充分必要条件：
   $当且仅当离散系统特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，即|z_i|<1(i=1,2,3,\dots ,n)，相应的线性定常离散系统是稳定的。$
2. 离散系统的稳定性判据
   a.$\omega$变换与劳斯稳定判据
   令
   $$z=\frac{\omega +1}{\omega -1}$$
   则有：
   $$\omega =\frac{z+1}{z-1}$$
   $上两式z和\omega 互为线性变换，因此称\omega 变换称为双线性变换$。
   $$\begin{gathered} 说明： \\ \omega 平面的虚轴对应于z平面上的单位圆周； \\ 左半\omega 平面对应于z平面上单位圆内的区域； \\ 右半\omega 平面对应于z平面上单位圆外的区域。 \end{gathered}$$
   $离散系统稳定的充分必要条件：由特征方程1+GH(z)=0的所有根位于z平面上的单位圆内，转换为特征方程1+GH(\omega )=0的所有根位于左半\omega 平面，可以应用劳斯判据判断离散系统的稳定性。$
   b.朱利稳定判据
   $设离散系统n阶闭环特征方程为：$
   $$D(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n=0，a_n>0$$
   $利用特征方程的系数，构造(2n-3)行、(n+1)列朱列阵列$

行数	$z^0$	$z^1$	$z^2$	$z^3$	$\dots$	$z^{n-k}$	$\dots$	$z^{n-1}$	$z^n$
1	$a_0$	$a_1$	$a_2$	$a_3$	$\dots$	$a_{n-k}$	$\dots$	$a_{n-1}$	$a_n$
2	$a_n$	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	$a_{n-3}$	$\dots$	$a_k$	$\dots$	$a_1$	$a_0$
3	$b_0$	$b_1$	$b_2$	$b_3$	$\dots$	$b_{n-k}$	$\dots$	$b_{n-1}$
4	$b_{n-1}$	$b_{n-2}$	$b_{n-3}$	$b_{n-4}$	$\dots$	$b_{k-1}$	$\dots$	$b_0$
5	$c_0$	$c_1$	$c_2$	$c_3$	$\dots$	$c_{n-2}$	$\dots$
6	$c_{n-2}$	$c_{n-3}$	$c_{n-4}$	$c_{n-5}$	$\dots$	$c_0$	$\dots$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
$2n-5$	$p_0$	$p_1$	$p_2$	$p_3$
$2n-4$	$p_3$	$p_2$	$p_1$	$p_0$
$2n-3$	$q_0$	$q_1$	$q_2$

$各元计算公式如下：$
$$b_k=\left|\begin{array}{cc}{a}_0& a_{n-k}\\ a_n& a_k\end{array}\right|，k=0,1,\dots ,n-1$$
$$c_k=\left|\begin{array}{cc}{b}_0& b_{n-k-1}\\ b_{n-1}& b_k\end{array}\right|，k=0,1,\dots ,n-2$$
$$\dots$$
$$q_0=\left|\begin{array}{cc}{p}_0& p_3\\ p_3& p_0\end{array}\right|，q_1=\left|\begin{array}{cc}{p}_0& p_2\\ p_2& p_1\end{array}\right|，q_2=\left|\begin{array}{cc}{p}_0& p_3\\ p_1& p_2\end{array}\right|，$$
$朱利稳定判据：特征方程D(z)=0的根，全部位于z平面上单位圆内的充分必要条件：$
$$D(1)>0，D(-1)\{\begin{array}{l}>0，当n为偶数时\\ <0，当n为奇数时\end{array}$$
$以及下列n-1个约束条件成立：$
$$|a_0|<a_n，|b_n|>|b_{n-1}|，|c_0|>|c_{n-2}|，\dots ,|q_0|>|q_2|$$
$只有当上述诸条件均满足时，离散系统才是稳定的，否则系统不稳定。$

3. 采样周期与开环增益对稳定性的影响
   a.当采样周期一定时，加大开环增益会使离散系统的稳定性变差，甚至使系统变得不稳定；
   b.当开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息越多，对离散系统的稳定性及动态性能均不利，甚至可使系统失去稳定性。
4. 离散系统的稳态误差
   设单位反馈误差采样系统如下图：
   
   $上图中：G(s)为连续部分的传递函数，e(t)为系统连续误差信号，e^{\ast }(t)为系统采样误差信号，其z变换为：$
   $$E(z)=R(z)-C(z)=[1-\Phi (z)]R(z)={\Phi }_e(z)R(z)$$
   其中：
   $${\Phi }_e(z)=\frac{E(z)}{R(z)}=\frac{1}{1+G(z)}$$
   为系统误差脉冲传递函数。
   如果${\Phi }_e(z)$的极点全部位于$z$平面上的单位圆内，即若离散系统是稳定的，则可用$z$变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差：
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{\ast }(t)=\underset{z\to 1}{\lim }(1-z^{-1})E(z)=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{(z-1)R(z)}{z[1+G(z)]}$$
   上式表明：线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构和参数有关，而且与输入序列的形式及幅值有关，还与采样周期的选取有关。
5. 离散系统的型别与静态误差系数
   $在离散系统中，把开环脉冲传递函数G(z)具有z=1的极点数\nu 作为划分离散系统型别的标准，把G(z)中\nu =0，1，2\dots 的系统，称为0型、Ⅰ型、Ⅱ型离散系统。$
   a.单位阶跃输入时稳态误差
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{1}{1+G(z)}=\frac{1}{{\lim }_{z\to 1}[1+G(z)]}=\frac{1}{K_p}$$
   $式中：K_p={\lim }_{z\to 1}[1+G(z)]称为静态位置误差系数$。
   b.单位斜坡输入时的稳态误差
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{T}{(z-1)[1+G(z)]}=\frac{T}{{\lim }_{z\to 1}(z-1)G(z)}=\frac{T}{K_v}$$
   $式中：K_v={\lim }_{z\to 1}(z-1)G(z)称为静态速度误差系数$。
   c.单位加速度输入时的稳态误差
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{T^2(z+1)}{2(z-1{)}^2[1+G(z)]}=\frac{T^2}{{\lim }_{z\to 1}(z-1{)}^{2}G(z)}=\frac{T^2}{K_a}$$
   $式中：K_a={\lim }_{z\to 1}(z-1{)}^{2}G(z)称为静态加速度误差系数$。
   单位反馈离散系统稳态误差小结：

系统型别	位置误差$r(t)=1(t)$	速度误差$r(t)=t$	加速度误差$r(t)=\frac{1}{2}{t}^2$
0型	$\frac{1}{K_p}$	$\infty$	$\infty$
Ⅰ型	0	$\frac{T}{K_v}$	$\infty$
Ⅱ型	0	0	$\frac{T^2}{K_a}$
Ⅲ型	0	0	0

7.6 离散系统的动态性能分析

1. 离散系统的时间响应
   假定外作用为单位阶跃函数，如果可以求出离散系统的闭环脉冲传递函数$\Phi (z)=C(z)/R(z)$，其中$R(z)=z/(z-1)$，则系统输出量的$z$变换函数：
   $$C(z)=\frac{z}{z-1}\Phi (z)$$
   将上式展成幂级数，通过$z$反变换，可以求出输出信号的脉冲序列$c^{\ast }(t)。c^{\ast }(t)$代表线性定常离散系统在单位阶跃输入作用下的响应过程。
   如果无法求出离散系统的闭环脉冲传递函数$\Phi (z)$，由于$R(z)$是已知的，$C(z)$的表达式总是可以写出的，则求取$c^{\ast }(t)$没有技术上的困难。
2. 采样器和保持器对系统性能的影响
   a.采样器和保持器不影响开环脉冲传递函数的极点，仅影响开环脉冲传递函数的零点；
   b.采样器和保持器会影响闭环离散系统的动态性能；
   c.采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但使超调量增大，故采样造成的损失会降低系统的稳定程度；
   d.零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长，超调量有所增加。

7.7 离散系统的数字校正

1. 线性离散系统设计方法叙述
   线性离散系统设计方法：模拟化设计、离散化设计。
   a.模拟化设计方法：把控制系统按模拟化进行分析，求出数字部分的等效连续环节，然后按连续系统理论设计校正装置，再将该校正装置数字化；
   b.离散化设计方法(直接数字设计法)：把控制系统按离散化进行分析，求出系统的脉冲传递函数，然后按离散系统理论设计数字控制器。
2. 数字控制器的脉冲传递函数
   设离散系统如下图：
   
   $图中：D(z)为数字控制器的脉冲传递函数，G(s)为保持器与被控对象的传递函数，H(s)为反馈测量装置的传递函数。$
   $设H(s)=1，G(s)的变换为G(z)，则系统的闭环脉冲传递函数为：$
   $$\Phi (z)=\frac{D(z)G(z)}{1+D(z)G(z)}=\frac{C(z)}{R(z)}$$
   $误差脉冲传递函数：$
   $${\Phi }_e(z)=\frac{1}{1+D(z)G(z)}=\frac{E(z)}{R(z)}$$
   $则有数字控制器的脉冲传递函数为：$
   $$D(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z)[1-\Phi (z)]}=\frac{1-{\Phi }_e(z)}{G(z){\Phi }_e(z)}$$
   $离散系统的数字校正问题：根据对离散系统性能指标的要求，确定闭环脉冲传递函数\Phi (z)或误差脉冲传递函数{\Phi }_e(z)，然后利用上式确定数字控制器的脉冲传递函数D(z)。$
3. 最少拍系统设计
   最少拍系统：指在典型输入作用下，能以有限拍结束响应过程，且在采样时刻上无稳态误差的离散系统。
   常见的典型输入：单位阶跃函数、单位速度函数、单位加速度函数。
   $$z[1(t)]=\frac{z}{z-1}=\frac{1}{1-z^{-1}}$$
   $$z[t]=\frac{Tz}{(z-1{)}^2}=\frac{T{z}^{-1}}{(1-z^{-1}{)}^2}$$
   $$z[\frac{1}{2}{t}^2]=\frac{T^{2}z(z+1)}{2(z-1{)}^3}=\frac{\frac{1}{2}{T}^2{z}^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1}{)}^3}$$
   最少拍系统设计原则：若系统广义被控对象$G(z)$无延迟且在$z$平面单位圆上及单位圆外无零极点，要求选择闭环脉冲传递函数$\Phi (z)$，使系统在典型输入作用下，经最少采样周期后，能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数$D(z)$。

典型输入		闭环脉冲传递函数		数字控制器脉冲传递函数D(z)	调节时间

针对单位斜坡输入设计最小拍系统小结：
a.从快速性而言，按单位斜坡输入设计的最少拍系统，在各种典型输入作用下，其动态过程均为二拍；
b.从准确性而言，系统对单位阶跃输入和单位斜坡输入，在采样时刻均无稳态误差，但对单位加速度输入，采样时刻上的稳态误差为常量$T^2$；
c.从动态性能而言，系统对单位斜坡输入下的响应性能较好，这是因为系统本身就是针对此而设计的，但系统对单位阶跃输入响应性能较差，有100%的超调量，因此按某种典型输入设计的最少拍系统，适应性较差；
d.从平稳性而言，在各种典型输入作用下系统进入稳态后，在非采样时刻一般均存在纹波，从而增加系统的机械磨损。

4. 无纹波最少拍系统设计
   a.无纹波最少拍系统的设计要求是：在某一种典型输入作用下设计的系统，其输出响应经过尽可能少的采样周期后，不仅在采样时刻输出可以完全跟踪输入，而且在非采样时刻不存在纹波；
   b.无纹波输出就必须要求采样序列在有限个采样周期后，达到相对稳定；
   c.若输入信号为：
   $$r(t)=R_0+R_{1}t+\frac{1}{2}{R}_2{t}^2+\cdots +\frac{1}{(q-1)!}{R}_{q-1}{t}^{q-1}$$
   则无纹波最少拍系统的必要条件是：被控对象传递函数$G_0(s)$中，至少应包含$(q-1)$个积分环节；
   注：满足上述条件，最少拍系统不一定无纹波。
   说明：无纹波最少拍控制系统的设计需要通过实例去学习和理解，在此不介绍无纹波最少拍控制系统设计的更多知识。

7.8 离散控制系统设计

实例分析：磁盘驱动读取系统
实例背景叙述：磁盘驱动读取系统中，当磁盘旋转时，每读一组存储数据，磁头都会提取位置偏差信息。由于磁盘匀速运转，因此磁头以恒定的时间间隔逐次读取格式信息。通常，偏差信号的采样周期为100$\mu s～1ms$。
实例设计要求：设磁盘驱动采样读取系统结构图如图所示，图中：$G(z)=z[G_h(z)G_0(z)]$为广义对象脉冲传递函数，$G_h(s)=\frac{1-e^{-sT}}{s}$为零阶保持器，$G_0(s)=\frac{5}{s(s+20)}$为被控对象，$D(z)$为数字控制器。当$T=1ms$时，要求设计数字控制器$D(z)$，使系统具有满意的动态响应性能。

解：
广义对象脉冲传递函数为：
$$G(z)=z[\frac{1-e^{-Ts}}{s}\cdot \frac{5}{s(s+20)}]=(1-z^{-1})[\frac{0.25Tz}{(z-1{)}^2}-\frac{0.0125z}{z-1}+\frac{0.0125z}{z-e^{-20T}}]$$
$因为T=0.001s，z-e^{-20T}=z-0.98，因此：$
$$G(z)=\frac{5\times 10^{-6}}{(z-1)(z-0.98)}$$
为了快速读取磁盘信息，要求系统在单位阶跃输入下为一拍系统，设：
$$\Phi (z)=z^{-1}，{\Phi }_e(z)=1-z^{-1}$$
由
$$D(z)=\frac{1-{\Phi }_e(z)}{G(z){\Phi }_e(z)}=\frac{\Phi (z)}{G(z){\Phi }_e(z)}$$
求得数字控制器：
$$D(z)=2\times 10^5(z-0.98)$$
matlab仿真如下：

由仿真图可得，超调量为零，调节时间为1ms，系统具有稳定且快速的响应。
附matlab代码：

T=0.001;t=0:T:0.01;
Gz=zpk([],[1 0.98],5*10^-6,T);   %开环离散系统的传递函数
Dz=zpk([0.98],[],2*10^5,T);      %数字控制器
G=series(Gz,Dz);
sys=feedback(G,1);               %闭环离散系统的传递函数
step(sys,t);grid;                %闭环系统的单位阶跃响应