自动控制--控制系统校正篇

本博文通过实例对控制系统校正进行介绍，展示使用$MATLAB$对控制系统进行校正以达到系统要求，目的是让同学们掌握使用$MATLAB$对控制系统进行系统校正的方法。

1. 串联超前校正实例
   题目：设单位反馈系统的开环传递函数为$$G_0(s)=\frac{K}{s(s+1)}$$
   试设计一个串联超前校正装置，使系统满足如下指标：
   ① 相角裕度$\gamma \ge 45°$；
   ② 在单位斜坡输入下的稳态误差$e_{ss}<\frac{1}{15}rad$；
   ③ 截止频率${\omega }_c\ge 7.5rad/s$。
   $解$：
   a.确定开环增益$K$。
   $分析题设，G_0(s)为Ⅰ型系统，K_v=K，技术指标要求在单位斜坡输入下的稳态误差e_{ss}<\frac{1}{15}rad，有$：$$e_{ss}(\infty )=\frac{1}{K_v}<\frac{1}{15}$$
   $取K=20$，则待校正系统的传递函数为$$G(s)=\frac{20}{s(s+1)}$$
   b.绘制出待校正系统的对数幅频渐近特性曲线，如下图：

%建立控制系统模型
w=0.1:1:100;
G=tf(20,[conv([1,0],[1,1])]);

%绘制待校正系统的对数幅频渐近线
figure(1)
[x,y] = bd_asymp(G,w);
semilogx(x,y,'r');
grid;

c.计算待校正系统的截止频率${\omega }_c^{{}^{\prime }}$和相角裕度$\gamma$
由上图可知，待校正系统的截止频率${\omega }_c^{{}^{\prime }}=4.47rad/s$，计算出待校正系统的相角裕度：${\gamma }^{{}^{\prime }}=180°-90°-\arctan {\omega }_c^{{}^{\prime }}=12.61°$
注：可以使用MATLAB命令直接计算截止频率和相角裕度，命令为：$$[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)$$直接使用margin命令，可绘制伯德图，并且将幅值裕度、相角裕度、截止频率、穿越频率标注在图形标题端，如下图所示：

d.选择校正方法
由于截止频率和相角裕度均低于指标要求，故采用超前校正。
e.计算校正装置相关参数
试选取${\omega }_m={\omega }_c^{{}^{\prime \prime }}=8rad/s(因为指标要求{\omega }_c\ge 7.5rad/s)$

由上图查得，$L({\omega }_c^{{}^{\prime \prime }})=-10.11dB$，由关系式$$-L({\omega }_c^{{}^{\prime \prime }})=10\lg a，T=\frac{1}{{\omega }_c^{{}^{\prime \prime }}\sqrt{a}}$$计算得到：$a=10.26，T=0.039$，因此，超前网络传递函数为$$10.26G_c(s)=\frac{1+0.4s}{1+0.039s}$$为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器增益应提高10.26倍，否则不能保证稳态误差要求。
f.得到校正后的系统，校验指标是否符合要求
已校正系统的开环传递函数为$$G_c(s)G(s)=\frac{20(1+0.4s)}{s(s+1)(1+0.039s)}$$其对数幅频渐近特性曲线$L(\omega {)}^{{}^{\prime \prime }}$

校正系统${\omega }_c^{{}^{\prime \prime }}=8rad/s$，计算已校正系统的相角裕度：$$\gamma =180°+\varphi ({\omega }_c^{\prime \prime })=90°+\arctan 0.4{\omega }_c^{\prime \prime }-\arctan 0.039{\omega }_c^{\prime \prime }=62.44°\ge 45°$$性能指标均符合要求，用$MATLAB$的$margin$命令绘制系统的开环对数频率特性，如下图：

由上图可得，${\omega }_c^{\prime \prime }=7.95rad/s，\gamma =62.5°$
g.附：$MATLAB代码$

%建立控制系统模型
w=0.1:1:100;
G=tf(20,[conv([1,0],[1,1])]);   %待校正系统
Gc=tf([0.4,1],[0.039,1]);       %校正系统
G1=series(G,Gc);                %校正后系统

%绘制系统的对数幅频渐近线
figure(1);
[x,y] = bd_asymp(G,w);
[xc,yc]=bd_asymp(Gc,w);
[x1,y1]=bd_asymp(G1,w);

semilogx(x,y,'r');hold on
semilogx(xc,yc,'b');
semilogx(x1,y1,'k');
grid;hold off

%绘制校正后系统的开环对数幅频和相频曲线
figure(2);
margin(G1);
grid;

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2. 系统校正准备知识

a.校正的定义
校正：在控制系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。
b.工程实践常用的三种校正方法：串联校正、前馈校正、复合校正。
c.校正设计方法
① 如果性能指标以单位阶跃响应的峰值时间、调节时间、超调量、阻尼比、稳态误差等时域特征量给出，一般采用时域校正方法；
② 如果性能指标以系统的相角裕度、幅值裕度、谐振峰值、闭环带宽、静态误差系数等频域特征量给出，一般采用频率法校正。
d.二阶系统频域指标与时域指标的关系

名称	频域指标与时域指标的关系
谐振峰值	$M_r=\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}，\zeta \le 0.707$
谐振频率	${\omega }_r={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2}，\zeta \le 0.707$
带宽频率	${\omega }_b={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2+\sqrt{2-4{\zeta }^2+4{\zeta }^4}}$
截止频率	${\omega }_c={\omega }_n\sqrt{\sqrt{1+4{\zeta }^4}-2{\zeta }^2}$
相角裕度	$\gamma =\arctan \frac{2\zeta }{\sqrt{\sqrt{1+4{\zeta }^4}-2{\zeta }^2}}$
超调量	$\sigma \%=e^{\frac{-\pi \zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}}\times 100\%$
调节时间	$t_s=\frac{3.5}{\zeta {\omega }_n}(\Delta =5\%)或t_s=\frac{4.4}{\zeta {\omega }_n}(\Delta =2\%)$

e.高阶系统频域指标与时域指标的关系

名称	频域指标与时域指标的关系
谐振峰值	$M_r=\frac{1}{|\sin \gamma |}$
超调量	$\sigma =0.16+0.4(M_r-1),1\le M_r\le 1.8$
调节时间	$t_s=\frac{K_0\pi }{{\omega }_c}(\Delta =5\%)，K_0=2+1.5(M_r-1)+2.5(M_r-1{)}^2，1\le M_r\le 1.8$

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3. 校正方式
   控制系统校正方式分为：串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正。
   a.串联校正
   串联校正装置一般接在系统误差测量点之后和放大器之前，串接于系统前向通道之中。
   
   b.反馈校正
   反馈校正装置接在系统局部反馈通路之中。
   
   c.前馈校正(顺馈校正)
   在系统主反馈回路之外采用的校正方式。
   第一种方式是前馈校正装置接在系统给定值之后及主反馈作用点之前的前向通道上，作用相当于对给定值信号进行整性或滤波后，再送入反馈系统，称为前置滤波器；
   
   第二种方式是前馈校正装置接在系统可测扰动作用点与误差测量点之间，对扰动信号进行直接或者间接测量，并经变换后接入系统，形成一条附加的对扰动影响进行补偿的通道。
   
   d.复合校正
   复合校正是在反馈回路中，加入前馈控制校正通路，组成一个有机整体，分为：按扰动补偿的复合控制、按输入补偿的复合控制。
   
   

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4. 基本控制规律
   a.比例控制规律$(P)$
   
   注：串联校正中，加大控制器增益$K_p$，可以提高系统的开环增益，减小系统稳态误差，从而提高系统的控制精度，但会降低系统的相对稳定性，甚至可能造成闭环系统不稳定。
   b.比例-微分控制规律(PD)
   
   PD控制器的控制规律：$$m(t)=K_{p}e(t)+K_p\tau \frac{de(t)}{dt}$$其中：$K_p为比例系数；\tau 为微分时间常数$
   PD控制器中的微分控制规律，能反应输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的稳定性，微分控制作用只对动态过程起作用，而对稳态过程没有影响，且对系统噪声非常敏感。
   c.积分控制规律$(I)$
   
   $I控制器的输出信号m(t)与其输入信号e(t)的积分成正比$，$$m(t)=K_i{\int }_0^{t}e(t)\mathrm{d}t$$其中：$K_i为可调系数，由于I控制器的积分作用，当其输入e(t)消失后，输出信号m(t)有可能是一个不为零的常量。在串联校正中，采用I控制器可以提高系统的性别，有利于系统稳态性能的提高，但积分控制使系统增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生90°的相角滞后，对系统的稳定性不利。$
   d.比例-积分控制规律$(PI)$
   
   注：$PI控制器的控制规律如下$：$$m(t)=K_{p}e(t)+\frac{K_p}{T_i}{\int }_0^{t}e(t)\mathrm{d}t$$其中：$K_p为可调比例系数；T_i为可调积分时间常数。$
   $在串联校正中，PI控制器相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点，同时也增加了一个位于s左半平面的开环零点。$位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减小系统的稳态误差，改善系统的稳态性能；增加的负实零点用来减小系统的阻尼程度，缓和$PI$控制器极点对系统稳定性以及动态过程产生的不利影响。
   f.比例-积分-微分控制规律$(PID)$
   
   注：$PID控制器的控制规律如下$：$$m(t)=K_{p}e(t)+\frac{K_p}{T_i}{\int }_0^{t}e(t)\mathrm{d}t+K_p\tau \frac{de(t)}{dt}$$使用$PID$控制器时，应该使$I$部分发生在系统频率特性的低频段，以提高系统的稳定性；使$D$部分发生在系统频率特性的中频段，以改善系统的动态性能。

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5. 常用校正装置以及特性
   a.无源超前校正网络
   
   无源超前网络的传递函数是$$a{G}_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts}(a>1)$$注：超前网络最大超前角为$${\omega }_m=\frac{1}{T\sqrt{a}}$$最大超前角为$${\varphi }_m=\arctan \frac{a-1}{2\sqrt{a}}=\arcsin \frac{a-1}{a+1}$$无源超前网络实现的电路图如下：
   
   b.无源滞后校正网络
   
   无源滞后网络的传递函数是$$G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts}(b<1)$$注：滞后网络最大滞后角为$${\omega }_m=\frac{1}{T\sqrt{b}}$$最大滞后角为$${\varphi }_m=\arcsin \frac{1-b}{1+b}$$无源滞后网络实现的电路图如下：
   
   c.无源滞后-超前校正网络
   
   无源滞后超前网络的传递函数是$$G_c(s)=\frac{(1+T_{a}s)(1+T_{b}s)}{(1+\alpha T_a)(1+\frac{T_b}{\alpha }s)}(\alpha >1)$$其中：$\frac{1+T_{a}s}{1+\alpha T_{a}s}为网络的滞后部分；\frac{1+T_{b}s}{1+\frac{T_{b}s}{\alpha }s}$为网络的超前部分。
   无源滞后网络实现的电路图如下：
   

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6. 串联校正
   a.频率响应法校正设计
   开环频率特性的低频段表征闭环系统的稳态性能；
   开环频率特性的中频段表征闭环系统的动态性能；
   开环频率特性的高频段表征闭环系统的复杂性和噪声抑制性能。
   低频段增益充分大，以保证稳态误差要求；
   中频段对数幅频特性斜率一般为$-20dB/dec$，并占据充分宽的频带，以保证具备适当的相角裕度；
   高频段增益尽快减小，以削弱噪声影响。
   b.串联超前校正
   无源超前网络的传递函数是$$a{G}_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts}(a>1)$$
   频域法设计无源超前网络的步骤如下：
   ① 根据稳态误差要求，确定开环增益$K$；
   ② 利用已确定的开环增益，计算待校正系统的相角裕度；
   ③ 根据截止频率${\omega }_c^{\prime \prime }$的要求，计算超前网络参数$a和T$。
   注：选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率，即${\omega }_m={\omega }_c^{\prime \prime }$，以保证系统的响应速度，并充分利用网络的相角超前特性，${\omega }_m={\omega }_c^{\prime \prime }$成立的条件：$$-L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })=L_c({\omega }_m)=10lga$$由上式确定$a$值，由$T=\frac{1}{{\omega }_m\sqrt{a}}$确定$T$值。
   ④ 验算已校正系统的相角裕度${\gamma }^{\prime \prime }$。验算时$a$值查看图或者由$${\varphi }_m=\arctan \frac{a-1}{2\sqrt{a}}=\arcsin \frac{a-1}{a+1}$$求得${\varphi }_m$，由已知的${\omega }_c^{\prime \prime }$算出待校正系统在${\omega }_c^{\prime \prime }$时的相角裕度$\gamma ({\omega }_c^{\prime \prime })$，最后，按下式算出$${\gamma }^{\prime \prime }={\varphi }_m+\gamma ({\omega }_c^{\prime \prime })$$当验算结果${\gamma }^{\prime \prime }$不满足指标要求时，需要重选${\omega }_m值$，一般使${\omega }_m$值增大，然后重复以上计算步骤。
   在下列情况采用串联超前校正是无效的：
   ① 闭环带宽要求。
   若待校正系统不稳定，为了得到规定的相角裕度，需要超前网络提供很大的相角超前量。这样超前网络的$a$值必须选得很大，从而造成已校正系统带宽过大，使得通过系统的高频噪声电平很高，很可能使系统失控。
   ② 在截止频率附近相角迅速减小的待校正系统，一般不宜采用串联超前校正。
   因为随着截止频率的增大，待校正系统相角迅速减小，使已校正系统的相角裕度改善不大，很难得到足够的相角超前量。
   c.串联滞后校正
   无源滞后网络的传递函数是$$G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts}(b<1)$$
   频域法设计串联无源滞后网络的步骤如下：
   ① 根据稳态误差要求，确定开环增益$K$；
   ② 利用已确定的开环增益，画出待校正系统的开环对数频率特性，确定待校正系统的截止频率${\omega }_c^{\prime }$、相角裕度$\gamma$和幅值裕度$h(dB)$；
   ③ 选择不同的${\omega }_c^{\prime \prime }$，计算或查出不同的$\gamma$值，在开环伯德图上绘制$\gamma ({\omega }_c^{\prime \prime })$曲线；
   ④ 根据相角裕度${\gamma }^{\prime \prime }$要求，选择已校正系统的截止频率${\omega }_c^{\prime \prime }$。
   ⑤ 根据下述关系式确定滞后网络参数$b$和$T$：$$20lgb+L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })=0$$ $$\frac{1}{bT}=0.1{\omega }_c^{\prime \prime }$$
   ⑥ 验算已校正系统的相角裕度和幅值裕度。
   串联滞后校正和串联超前校正对比：
   ① 超前校正是利用超前网络的相角超前特性，而滞后校正则是利用滞后网络的高频幅值衰减特性；
   ② 为了满足严格的稳态性能要求，当采用无源校正网络时，超前校正要求一定的附加增益，而滞后校正一般不需要附加增益；
   ③ 对于同一系统，采用超前校正的系统带宽大于采用滞后校正的系统带宽。
   d.串联滞后-超前校正
   滞后超前校正传递函数：$$G_c(s)=\frac{(1+T_{a}s)(1+T_{b}s)}{(1+\alpha T_a)(1+\frac{T_b}{\alpha }s)}(\alpha >1)$$
   频域法设计串联滞后-超前网络的步骤如下：
   ① 根据稳态性能要求确定开环增益$K$；
   ② 绘制待校正系统的开环对数幅频渐近特性，求出待校正系统的截止频率${\omega }_c^{\prime }$、相角裕度$\gamma$以及幅值裕度$h(dB)$；
   ③ 在待校正系统开环对数幅频渐近特性上，选择斜率从$-20dB/dec$变为$-40dB/dec$的交接频率作为校正网络超前部分的交接频率${\omega }_b$；
   ④ 根据响应要求，选择系统的截止频率${\omega }_c^{\prime \prime }$和校正网络衰减因子$\frac{1}{\alpha }$，满足一下式子：$$-20lg\alpha +L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })+20lg{T}_b{\omega }_c^{\prime \prime }=0$$其中：$T_b=\frac{1}{{\omega }_b}$；$L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })+20lg{T}_b{\omega }_c^{\prime \prime }$可由待校正系统开环对数幅频渐近特性的$-20dB/dec$延长线在${\omega }_c^{\prime \prime }$处的数值确定。
   ⑤ 根据相角裕度要求，估算校正网络滞后部分的交接频率${\omega }_a$；
   ⑥ 校验已校正系统的各项性能指标。

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7. 综合训练篇
   训练例题：串联校正
   题目：设单位负反馈系统的开环传递函数为$$G(s)=\frac{K}{s(s+1)}$$若要求系统在单位斜坡输入信号作用时，位置输出稳态误差$e_{ss}(\infty )\le 0.1rad$，开环系统截止频率${\omega }_c^{\prime \prime }\ge 4.4rad/s$，相角裕度${\gamma }^{\prime \prime }\ge 45°$，幅值裕度$h^{\prime \prime }dB\ge 10dB$，试设计串联无源超前网络。
   解：设计步骤：
   ① 根据稳态误差要求，确定开环增益$K$；
   ② 利用已确定的开环增益，计算待校正系统的幅值裕度、相角裕度及其对应的截止频率、穿越频率；
   ③ 根据截止频率${\omega }_c^{\prime \prime }$的要求，计算超前网络参数$a和T$。为保证系统的响应速度，并充分利用网络的相角超前特性，可选择最大超前角频率等于截止频率，即${\omega }_m={\omega }_c^{\prime \prime }$。其中$a$由$$-L^{\prime }({\omega }_c^{\prime \prime })=L_c({\omega }_m)=10lga$$确定，由$$T=\frac{1}{{\omega }_m\sqrt{a}}$$确定$T$值。
   ④ 确定无源超前网络和最大超前角${\varphi }_m$。$$a{G}_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts}$$ $${\varphi }_m=\arcsin \frac{a-1}{a+1}$$
   ⑤ 验算已校正系统的幅值裕度、相角裕度、对应的截止频率、穿越频率。若验算结果不满足指标要求，需重新选择${\omega }_m(={\omega }_c^{\prime \prime })$，然后重复以上设计步骤。
   $MATLAB实现代码如下：$

K=1/0.1;                   %由稳态误差要求计算开环增益
G0=zpk([],[0 -1],K);       %建立开环系统模型
[h0,r0,wx0,wc0]=margin(G0) %计算校正前系统的幅值裕度、相角裕度、截止频率、穿越频率

wm=4.4;                    %试取校正系统的截止频率
L=bode(G0,wm);
Lwc=20*log10(L);
a=10^(-0.1*Lwc);            %确定超前校正网络参数a
T=1/(wm*sqrt(a));           %确定超前校正网络参数T
phi=asin((a-1)/(a+1));      %phi表示最大超前角φm
Gc=(1/a)*tf([a*T 1],[T 1]); %确定超前网络传递函数
Gc=a*Gc;                    %补偿无源超前网络产生的增益衰减

G=Gc*G0;                    %计算已校正系统的开环传递函数
bode(G,'r',G0,'b--');grid;  %绘制系统校正前后的伯德图
[h,r,wx,wc]=margin(G)       %计算已校正系统的幅值裕度、相角裕度、截止频率、穿越频率

%其中校正前、校正后系统的幅值裕度、相角裕度、截止频率、穿越频率如下
h0 =
   Inf
r0 =
   17.9642     %校正前系统的相角裕度
wx0 =
   Inf
wc0 =
    3.0842     %校正前系统截止频率
h =
   Inf
r =
   49.3369     %校正后系统的相角裕度，满足指标要求
wx =
   Inf        
wc =
    4.4000    %校正后系统的截止频率