自动控制--控制系统频域分析篇

本博文通过实例对控制系统频域分析进行介绍，展示使用$MATLAB$对控制系统进行频域分析，目的是让同学们掌握使用$MATLAB$对控制系统进行频域分析的方法。

1. 控制系统方框图
   

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2. 控制系统代码区

①建立控制系统模型

%建立控制系统模型
G1=10;
G2=tf([1 40 0],[1]);
G3=400;
numG4=1;denG4=conv([1 0],[1 1]);G4=tf(numG4,denG4);
G5=tf([1],[1 10]);

%系统开环函数
G23=parallel(G2,G3);
G123=series(G1,G23);
G45=series(G4,G5);
G=series(G123,G45)

>>
G =
 
  10 s^2 + 400 s + 4000
  ---------------------
   s^3 + 11 s^2 + 10 s
 
Continuous-time transfer function.

② 由$MATLAB$结果得，控制系统开环传递函数是
$$G(s)=\frac{10s^2+400s+4000}{s^3+11s^2+10s}$$
③ 绘制伯德图
a.$bode命令$

figure(1)
bode(G);

b.$margin命令，可得出幅值裕度、相角裕度、截止频率、穿越频率$

figure(2)
margin(G);

④ 绘制尼柯尔斯图

%绘制尼柯尔斯图
figure(3)
nichols(G);
ngrid;axis([-270 0 -100 100]);    %坐标范围

⑤ 奈奎斯特图

%奈奎斯特图
figure(4)
nyquist(G);
axis equal   %调整纵横坐标

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3. 知识点剖析
   a.伯德图绘制
   命令格式：$[mag,phase,w]=bode(sys)$
   幅值结果存在$mag$中；
   相角结果存在$phase$中；
   命令格式：$[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)$
   幅值裕度、相角裕度、截止频率、穿越频率标注在图形标题端。
   b.尼柯尔斯图绘制
   命令格式：$[mag,phase,w]=nichols(sys)$
   c.奈奎斯特图绘制
   命令格式：$[re,im,w]=nyquist(sys)$

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4. 频域分析知识点延伸

① 控制系统的频率特性
定义：谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比$A(\omega )$为幅频特性，相位之差$\varphi (\omega )$为相频特性，其指数形式$$G(j\omega )=A(\omega )e^{j\varphi (\omega )}$$为系统的频率特性。
其中：
$$A(\omega )=|G(j\omega )|$$
$$\varphi (\omega )=\angle G(j\omega )$$
② 频率特性的几何表示方法
a.幅相频率特性曲线(幅相曲线、极坐标图)
以横轴为实轴、纵轴为虚轴，构成复数平面，若将频率特性表示为复指数形式，则为复平面上的向量，向量的长度为频率特性的幅值，向量与实轴正方向的夹角等于频率特性的相位。
b.对数频率特性曲线(伯德曲线、伯德图)
对数频率特性曲线的横坐标按$l{g}_{\omega }$分度，单位为弧度/秒$(rad/s)$，对数幅频曲线的纵坐标按$L(\omega )=20lg|G(j\omega )|=20lgA(\omega )$线性分度，单位是分贝($dB$)，对数相频曲线的纵坐标按$\varphi (\omega )线性分度，单位为度(°)$。
c.对数幅相曲线(尼柯尔斯曲线、尼柯尔斯图)
对数幅相曲线纵坐标为$L(\omega )$，单位为分贝($dB$)，横坐标为$\varphi (\omega )$，单位为度(°)，均为线性分度。
③ 典型环节与其频率特性

序号	最小相位环节	频率特性
1	比例环节$K(K>0)$	$$A(\omega )=K，\varphi (\omega )=0°$$
2	惯性环节$\frac{1}{Ts+1}(T>0)$	$$A(\omega )=\frac{1}{\sqrt{1+T^2{\omega }^2}}，\varphi (\omega )=-\arctan T\omega$$
3	一阶微分环节$Ts+1$	$A(\omega )=\sqrt{1+T^2{\omega }^2}$，$\varphi (\omega )=\arctan T\omega$
4	振荡环节$$\frac{1}{\frac{s^2}{{\omega }_n^2}+\frac{2\zeta s}{{\omega }_n}+1}({\omega }_n>0，0\le \zeta <1)$$	$$A(\omega )=\frac{1}{\sqrt{(1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n}{)}^2+4{\zeta }^2\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}}}$$，$$\varphi (\omega )=-\arctan \frac{2\zeta \frac{\omega }{{\omega }_n}}{1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}}=\{\begin{array}{rlr}-\arctan \frac{2\zeta \frac{\omega }{{\omega }_n}}{1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}}& & \omega \le {\omega }_n\\ -180°+\arctan \frac{2\zeta \frac{\omega }{{\omega }_n}}{\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}-1}& & \omega >{\omega }_n\end{array}$$
5	二阶微分环节$$\frac{s^2}{{\omega }_n^2}+\frac{2\zeta s}{{\omega }_n}+1，({\omega }_n>0，0\le \zeta <1)$$	$$A(\omega )=\sqrt{(1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n}{)}^2+4{\zeta }^2\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}}$$，$$\varphi (\omega )=\arctan \frac{2\zeta \frac{\omega }{{\omega }_n}}{1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}}$$
6	积分环节$\frac{1}{s}$	$A(\omega )=\frac{1}{\omega }，\varphi (\omega )=-90°$
7	微分环节$s$	$A(\omega )=\omega ，\varphi (\omega )=90°$

序号	非最小相位环节	频率特性
1	比例环节$K(K<0)$	$$A(\omega )=K，\varphi (\omega )=-180°$$
2	惯性环节$\frac{1}{-Ts+1}(T>0)$	$$A(\omega )=\frac{1}{\sqrt{1+T^2{\omega }^2}}，\varphi (\omega )=\arctan T\omega$$
3	一阶微分环节$-Ts+1$	$A(\omega )=\sqrt{1+T^2{\omega }^2}$，$\varphi (\omega )=-\arctan T\omega$
4	振荡环节$$\frac{1}{\frac{s^2}{{\omega }_n^2}-\frac{2\zeta s}{{\omega }_n}+1}({\omega }_n>0，0<\zeta <1)$$	$$A(\omega )=\frac{1}{\sqrt{(1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n}{)}^2+4{\zeta }^2\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}}}$$，$$\varphi (\omega )=\arctan \frac{2\zeta \frac{\omega }{{\omega }_n}}{1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}}=\{\begin{array}{rlr}\arctan \frac{2\zeta \frac{\omega }{{\omega }_n}}{1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}}& & \omega \le {\omega }_n\\ 180°-\arctan \frac{2\zeta \frac{\omega }{{\omega }_n}}{\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}-1}& & \omega >{\omega }_n\end{array}$$
5	二阶微分环节$$\frac{s^2}{{\omega }_n^2}-\frac{2\zeta s}{{\omega }_n}+1，({\omega }_n>0，0<\zeta <1)$$	$$A(\omega )=\sqrt{(1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n}{)}^2+4{\zeta }^2\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}}$$，$$\varphi (\omega )=-\arctan \frac{2\zeta \frac{\omega }{{\omega }_n}}{1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}}$$

④ 曲线绘制
a.开环幅相曲线绘制

1. 开环幅相曲线的起点($\omega =0_{+}$)和终点($\omega =\infty$)；
2. 开环幅相曲线与实轴的交点。设$\omega ={\omega }_x$时，$G(j\omega )H(j\omega )$的虚部为0，即$$Im[G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)]=0$$或者$$\varphi ({\omega }_x)=\angle G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)=k\pi ；k=0,\pm 1，\pm 2，\dots \dots$$其中：${\omega }_x为穿越频率$开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为$$Re[G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)]=G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)$$
3. 开环幅相曲线的变化范围(象限、单调性)

b.开环对数频率特性曲线绘制

1. 开环传递函数典型环节分解；
2. 确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交接频率标注在半对数坐标图的$\omega$轴上；
3. 绘制低频段渐近特性线，在$\omega <{\omega }_{min}$频段内，开环系统幅频渐近特性的斜率取决于$\frac{K}{{\omega }^{\nu }}$，直线斜率为$-20\nu dB/dec$，确定低频渐近线上的一点，方法如下：
   ① 在$\omega <{\omega }_{min}$范围内，任选一点${\omega }_0$，计算$$L_a({\omega }_0)=20\lg K-20\nu \lg {\omega }_0$$
   ② 取频率为特定值${\omega }_0=1，$则$$L_a(1)=20\lg K$$
   ③ 取$L_a({\omega }_0)$为特殊值0，有$\frac{K}{{\omega }_0^{\nu }}=1$，则$${\omega }_0=K^{\frac{1}{\nu }}$$
4. 作$\omega \ge {\omega }_{min}$频段渐近特性线。
5. 附表：交接频率点处斜率的变化表

典型环节传递函数	交接频率	斜率变化
$\frac{1}{Ts+1}(T>0)$	$\frac{1}{T}$	$-20dB/dec$
$\frac{1}{-Ts+1}(T>0)$	$\frac{1}{T}$	$-20dB/dec$
$Ts+1$	$\frac{1}{T}$	$20dB/dec$
$-Ts+1$	$\frac{1}{T}$	$20dB/dec$
$$\frac{1}{\frac{s^2}{{\omega }_n^2}+\frac{2\zeta s}{{\omega }_n}+1}({\omega }_n>0，0\le \zeta <1)$$	${\omega }_n$	$-40dB/dec$
$$\frac{1}{\frac{s^2}{{\omega }_n^2}-\frac{2\zeta s}{{\omega }_n}+1}({\omega }_n>0，0<\zeta <1)$$	${\omega }_n$	$-40dB/dec$
$$\frac{s^2}{{\omega }_n^2}+\frac{2\zeta s}{{\omega }_n}+1，({\omega }_n>0，0<\zeta <1)$$	${\omega }_n$	$40dB/dec$
$$\frac{s^2}{{\omega }_n^2}-\frac{2\zeta s}{{\omega }_n}+1，({\omega }_n>0，0<\zeta <1)$$	${\omega }_n$	$40dB/dec$

⑤ 稳定性判据
a.奈氏判据
反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合曲线${\Gamma }_{GH}$不穿过$(-1,j0)$点，且逆时针包围临界点$(-1,j0)$点的圈数$R$等于开环传递函数的正实部极点数$P$。
b.对数频率稳定判据
设$P$为开环系统正实部的极点数，反馈控制系统稳定的充分必要条件是$\varphi ({\omega }_c)\ne (2k+1)\pi (k=0,1,2,3,\dots \dots )$和$L(\omega )>0$时，${\Gamma }_{\varphi }$曲线穿越$(2k+1)\pi$线的次数$$N=N_{+}-N_{-}$$满足$$Z=P-2N=0$$
注：穿越次数计算

1. 正穿越一次：${\Gamma }_{GH}$由上往下穿越$(-1,j0)$点左侧的负实轴一次，等价于在$L(\omega )>0$时，${\Gamma }_{\varphi }$由下往上穿越$(2k+1)\pi$线一次；
2. 负穿越一次：${\Gamma }_{GH}$由下往上穿越$(-1,j0)$点左侧的负实轴一次，等价于在$L(\omega )>0$时，${\Gamma }_{\varphi }$由上往下穿越$(2k+1)\pi$线一次；
3. 正穿越半次：${\Gamma }_{GH}$由上往下止于或由上往下起于$(-1,j0)$点左侧的负实轴一次，等价于在$L(\omega )>0$时，${\Gamma }_{\varphi }$由下往上止于或由下往上起于$(2k+1)\pi$线一次；
4. 负穿越半次：${\Gamma }_{GH}$由下往上止于或由下往上起于$(-1,j0)$点左侧的负实轴一次，等价于在$L(\omega )>0$时，${\Gamma }_{\varphi }$由上往下止于或由上往下起于$(2k+1)\pi$线一次；

⑥ 稳定裕度
a.相角裕度
若${\omega }_c$为系统的截止频率，即${\omega }_c$满足$$A({\omega }_c)=|G(j{\omega }_c)H(j{\omega }_c)|=1$$
则定义相角裕度为$$\gamma =180°+\angle [G(j{\omega }_c)H(j{\omega }_c)]$$
相角裕度$\gamma$含义：对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后$\gamma$度，则系统将处于临界稳定状态。
b.幅值裕度
当${\omega }_0$为系统的穿越频率，即${\omega }_0$满足$$\varphi ({\omega }_0)=\angle [G(j{\omega }_0)H(j{\omega }_0)]=(2k+1)\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\dots \dots )$$
则定义幅值裕度为$$K_g=\frac{1}{|G(j{\omega }_0)H(j{\omega }_0)|}$$
幅值裕度$K_g$含义：对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大$K_g$倍，则系统将处于临界稳定状态。

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5. 综合训练题
   已知单位负反馈系统的开环传递函数为$$G(s)=\frac{1280s+640}{s^4+24.2s^3+1604.81s^2+320.24s+16}$$试绘制其伯德图、尼柯尔斯图、奈奎斯特图，并判别闭环系统的稳定性。

① 控制系统模型建立

%建立控制系统模型
G=tf([1280 640],[1 24.2 1604.81 320.24 16]);
G

G =
 
                1280 s + 640
  ----------------------------------------
  s^4 + 24.2 s^3 + 1605 s^2 + 320.2 s + 16
 
Continuous-time transfer function.

② 伯德图的绘制

%绘制伯德图，计算幅值裕度、相角裕度、截止频率、穿越频率
figure(1)
margin(G);

③ 尼柯尔斯图的绘制

%绘制尼柯尔斯图
figure(2)
nichols(G);
ngrid;axis([-270 0 -40 40]);   %设定尼柯尔斯图坐标范围，绘制网格

④ 奈奎斯特图的绘制

%绘制奈奎斯特图
figure(3)
nyquist(G);
axis equal                     %调整纵横坐标比例，保持原形

⑤ 稳定性分析
由于系统无右半平面开环极点，从奈奎斯特图看，奈奎斯特曲线不包围$(-1,j0)$点，系统稳定；
从伯德图可以得到系统的幅值裕度$h=29.5dB$、相角裕度$\gamma =72.9°$，相应的截止频率${\omega }_c=0.904rad/s$、穿越频率${\omega }_x=39.9rad/s$，奈氏判据知，系统闭环稳定。

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6. 频域分析小结