自动控制--控制系统根轨迹篇

本博文通过实例对控制系统根轨迹绘制进行介绍，展示使用MATLAB对控制系统进行根轨迹绘制，目的是让同学们掌握使用MATLAB对控制系统进行根轨迹绘制的方法。

1. 控制系统方框图
   

---

---

2. 控制系统根轨迹代码区

① 建立控制系统模型

%控制系统建立
G1=5;
G2=tf([1 0],[1]);
G4=tf([1],[1 0]);
G5=tf([1],[1 2]);
G6=tf([1],[1 3]);

%系统连接
G12=parallel(G1,G2);
G56=series(G5,G6);
G456=series(G4,G56);
G=series(G12,G456)    %控制系统开环函数

%控制系统开环函数
G =
 
        s + 5
  -----------------
  s^3 + 5 s^2 + 6 s
 
Continuous-time transfer function.

② 由MATLAB结果得，控制系统开环传递函数是
$$G(s)=\frac{K(s+5)}{s^3+5s^2+6s}$$
③ 绘制零极点分布图、根轨迹

%绘制零极点分布图
figure(1)
pzmap(G);

%绘制根轨迹
figure(2)
rlocus(G);

a.零极点分布图

b.根轨迹

c.临界阻尼的$K$和闭环极点

%在MATLAB命令窗口输入rlocfind(G)
rlocfind(G)   %在根轨迹图上出现"+"提示符，选中响应的位置，回车

%结果如下
>> rlocfind(G)
Select a point in the graphics window

selected_point =

  -0.8800 + 0.0000i


ans =

    0.5072

---

---

3. 根轨迹知识点剖析
   a.绘制零极点分布图
   命令格式：$[p,z]=pzmap(sys)$
   其中，极点用"$\times$“表示，零点用”$o$"表示。
   b.绘制根轨迹图
   ① 将特征方程化成$1+K\frac{p(s)}{q(s)}=0$，得到等效开环传递函数$G(s)=\frac{p(s)}{q(s)}$；
   ② 使用$rlocus$命令绘制根轨迹
   命令格式：$rlocus(G)$
   c.计算系统临界阻尼对应的$K$值和对应的闭环极点
   ① 在$MATLAB$命令窗口使用$rlocfind(G)$命令
   命令格式：$rlocfind(G)$
   ② 在根轨迹图上选择对应的位置，回车即可

---

---

4. 延伸知识点

① $180^{\circ }$根轨迹绘制法则

序号	内容	法则
法则1	根轨迹的起点和终点	根轨迹起于开环极点，终于开环零点
法则2	根轨迹的分支数，对称性和连续性	根轨迹的分支数等于开环极点数$n(n>m)$，或开环零点数$m(m>n)$，根轨迹对称于实轴
法则3	根轨迹的渐近线	$n-m$条渐近线与实轴的交角和交点$${\varphi }_a=\frac{(2k+1)\pi }{n-m}(k=0,1,\dots \dots ,n-m-1)$$$${\sigma }_a=\frac{{\sum }_{i=1}^n{p}_i-{\sum }_{j=1}^m{z}_j}{n-m}$$
法则4	根轨迹在实轴上的分布	实轴上某一区域，若其右方开环实数零极点个数之和为奇数，则该区域必为根轨迹
法则5	根轨迹的分离点与分离角	$l$条根轨迹分支相遇，其分离点坐标由$$\sum _{j=1}^m\frac{1}{d-z_j}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{d-p_i}$$确定；分离角等于$$\frac{(2k+1)\pi }{l}$$
法则6	根轨迹的起始角与终止角	起始角：$${\theta }_{p_i}=(2k+1)\pi +(\sum _{j=1}^m{\varphi }_{z_j{p}_i}-\sum _{j=1,j\ne 1}^n{\theta }_{p_j{p}_i})$$；终止角：$${\varphi }_{z_i}=(2k+1)\pi -(\sum _{j=1,j\ne i}^m{\varphi }_{z_j{z}_i}-\sum _{j=1}^n{\theta }_{p_j{z}_i})$$
法则7	根轨迹与虚轴的交点	根轨迹与虚轴交点的$K^{\ast }$值和$\omega$值，可用劳斯判据确定
法则8	根之和	$$\sum _{i=1}^n{s}_i=\sum _{i=1}^n{p}_i$$

② $0^{\circ }$根轨迹绘制法则

序号	内容	法则
法则1	根轨迹的起点和终点	根轨迹起于开环极点，终于开环零点
法则2	根轨迹的分支数，对称性和连续性	根轨迹的分支数等于开环极点数$n(n>m)$，或开环零点数$m(m>n)$，根轨迹对称于实轴
法则3	根轨迹的渐近线	$n-m$条渐近线与实轴的交角和交点$${\varphi }_a=\frac{2k\pi }{n-m}(k=0,1,\dots \dots ,n-m-1)$$$${\sigma }_a=\frac{{\sum }_{i=1}^n{p}_i-{\sum }_{j=1}^m{z}_j}{n-m}$$
法则4	根轨迹在实轴上的分布	实轴上某一区域，若其右方开环实数零极点个数之和为偶数，则该区域必为根轨迹
法则5	根轨迹的分离点与分离角	$l$条根轨迹分支相遇，其分离点坐标由$$\sum _{j=1}^m\frac{1}{d-z_j}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{d-p_i}$$确定；分离角等于$$\frac{(2k+1)\pi }{l}$$
法则6	根轨迹的起始角与终止角	起始角：$${\theta }_{p_i}=2k\pi +(\sum _{j=1}^m{\varphi }_{z_j{p}_i}-\sum _{j=1,j\ne 1}^n{\theta }_{p_j{p}_i})$$终止角：$${\varphi }_{z_i}=2k\pi -(\sum _{j=1,j\ne i}^m{\varphi }_{z_j{z}_i}-\sum _{j=1}^n{\theta }_{p_j{z}_i})$$
法则7	根轨迹与虚轴的交点	根轨迹与虚轴交点的$K^{\ast }$值和$\omega$值，可用劳斯判据确定
法则8	根之和	$$\sum _{i=1}^n{s}_i=\sum _{i=1}^n{p}_i$$

---

---

5. 综合训练题
   已知单位负反馈系统的开环传递函数为$$G(s)=\frac{20}{(s+4)(s+K)}$$试画出$K$从零变化到无穷时的根轨迹图，并求出系统临界阻尼时对应的$K$值及其闭环极点。
   解：
   由题意得，系统闭环系统特征方程为
   $$D(s)=s^2+4s+Ks+4K+20=s^2+4s+20+K(s+4)=0$$
   等效开环传递函数
   $$G^{\ast }(s)=\frac{K(s+4)}{s^2+4s+20}$$

%建立等效开环传递函数模型
G=tf([1 4],[1 4 20]);

%绘制零极点分布图
figure(1)
pzmap(G);

%绘制根轨迹图
figure(2)
rlocus(G);

a.零点分布图

b.根轨迹图

c.临界阻尼对应的$K$值和对应的闭环极点

>> rlocfind(G)
Select a point in the graphics window

selected_point =

  -8.4799 - 0.0000i


ans =

   12.9443

$因此，K=12.9443,s=-8.4799$。

---

---

6. 小结