自动控制原理(考研)习题篇--第二章(控制系统的数学模型)

本博文基于自动控制原理习题解析(胡寿松第二版)，解答经典习题，总结解题规律，便于同学们的复习，该篇属于自动控制原理的习题篇，以习题为驱动，不做只懂理论不懂解题的人，因作者也是在复习考研，也是刚毕业的大学生，总结的东西难免会有所纰漏，如发现，请在评论区提醒，望共同进步，考研成功上岸！

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1. 机械系统(c-m-k系统)
   题目：设机械系统如下图所示，其中$x_i$是输入位移，$x_o$是输出位移，分别写出各个系统的微分方程。
   
   考点分析：建立机械系统的微分方程模型方法。
   解：
   ① 对于图a，根据力平衡方程，得
   $$f_1(\frac{d{x}_i}{dt}-\frac{d{x}_o}{dt})-f_2\frac{x_o}{dt}=m\frac{d^2{x}_o}{d{t}^2}$$
   则系统的微分方程式为：
   $$m\frac{d^2{x}_o}{d{t}^2}+(f_1+f_2)\frac{d{x}_o}{dt}=f_1\frac{x_i}{dt}$$
   ② 对于图b，在上部分弹簧与阻尼器之间取辅助点$A$，并设$A$点位移为$x$，方向向下，根据力平衡方程，可得
   
   $$K_1(x_i-x)=f(\frac{dx}{dt}-\frac{d{x}_o}{dt})$$
   $$K_2{x}_o=f(\frac{dx}{dt}-\frac{d{x}_o}{dt})$$
   消去中间变量$x$，由于
   $$K_2{x}_o=K_1(x_i-x)，x=x_i-\frac{K_2}{K_1}{x}_o，\frac{dx}{dt}=\frac{d{x}_i}{dt}-\frac{K_2}{K_1}\frac{d{x}_o}{dt}$$
   因此，$$K_1{K}_2{x}_o=K_{1}f\frac{dx}{dt}-K_{1}f\frac{d{x}_o}{dt}=f{K}_1\frac{x_i}{dt}-f{K}_1\frac{d{x}_o}{dt}-f{K}_2\frac{d{x}_o}{dt}$$
   则系统的微分方程式为：
   $$f(K_1+K_2)\frac{d{x}_o}{dt}+K_1{K}_2{x}_o=K_{1}f\frac{d{x}_i}{dt}$$
   ③ 对于图c，根据力平衡方程，可得
   $$K_1(x_i-x_o)+f(\frac{d{x}_i}{dt}-\frac{d{x}_o}{dt})=K_2{x}_o$$
   系统的微分方程为：
   $$f\frac{d{x}_o}{dt}+(K_1+K_2)x_o=f\frac{d{x}_i}{dt}+K_1{x}_i$$

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2. 相似系统(c-m-k系统和R-C-L系统)
   题目：试证明下图的电网络和机械系统有相同的模型。
   
   考点分析：用拉氏变换法建立系统的传递函数数学模型。
   解：
   ① 对于图a，复阻抗方法可得，系统传递函数为
   $$G_a(s)=\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\frac{R_2+\frac{1}{C_{2}s}}{\frac{R_1\cdot \frac{1}{C_{1}s}}{R_1+\frac{1}{C_{1}s}}+(R_2+\frac{1}{C_{2}s})}=\frac{R_1{R}_2{C}_1{C}_2{s}^2+(R_1{C}_1+R_2{C}_2)s+1}{R_1{R}_2{C}_1{C}_2{s}^2+(R_1{C}_1+R_2{C}_2+R_1{C}_2)s+1}$$
   ② 对于图b，在弹簧$K_1和阻尼器f_1之间引入辅助点，设其位移为x,方向向下$。根据力平衡方程，可得：
   
   $$K_2(x_i-x_o)+f_2(\frac{d{x}_i}{dt}-\frac{d{x}_o}{dt})=f_1(\frac{d{x}_o}{dt}-\frac{dx}{dt})，K_{1}x=f_1(\frac{d{x}_o}{dt}-\frac{dx}{dt})$$
   对上式拉氏变换，初始条件为零，可得：
   $$\begin{gathered} K_2{X}_i(s)-K_2{X}_o(s)+f_2\cdot s{X}_i(s)-f_2\cdot s{X}_o(s)=f_1\cdot s{X}_o(s)-f_1\cdot sX(s) \\ {K}_{1}X(s)=f_1\cdot s{X}_o(s)-f_1\cdot sX(s) \end{gathered}$$
   消去中间变量，得传递函数：
   $$G_b(s)=\frac{X_o(s)}{X_i(s)}=\frac{\frac{f_1{f}_2}{K_1{K}_2}{s}^2+(\frac{f_1}{K_1}+\frac{f_2}{K_2})s+1}{\frac{f_1{f}_2}{K_1{K}_2}{s}^2+(\frac{f_1}{K_1}+\frac{f_2}{K_2}+\frac{f_1}{K_2})s+1}$$
   比较$G_a(s)和G_b(s)$可知，传递函数类型相同，故两系统具有相同的数学模型。

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3. 拉氏变换求解微分方程
   题目：设初始条件为零，用拉氏变换法求解下面的微分方程，并指出方程的模态。
   微分方程为：$$\frac{d^2}{d{t}^2}x(t)+2\frac{d}{dt}x(t)+x(t)=1(t)$$
   考点分析：用拉氏变换法求解线性定常微分方程。
   解：
   对微分方程进行拉氏变换得：
   $$X(s)=\frac{1}{s(s^2+2s+1)}=\frac{1}{s}-\frac{1}{(s+1{)}^2}-\frac{1}{s+1}$$
   拉氏反变换可得：
   $$x(t)=1-t{e}^{-t}-e^{-t}$$
   由$x(t)的表达式得系统的特征根为$：$${\lambda }_{1,2}=-1$$
   因此，该方程的模态为：$t{e}^{-t}，e^{-t}$

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4. 非线性方程线性化
   题目：在液压系统管道中，设通过阀门的流量$Q$满足流量方程$$Q=K\sqrt{P}$$
   $式中：K为比例系数；P为阀门前后的压差；若流量Q与压差P在其平衡点(Q_0,P_0)附近做微小变化，试导出线性化流量方程。$
   考点分析：非线性微分方程得线性化，步骤：对非线性微分方程在其平衡点附近用泰勒级数展开并取前面得线性项，得到等效得线性化方程。
   解：
   在平衡点$(Q_0,P_0)$处，对流量$Q$泰勒展开并取一次项近似
   $$Q\approx Q_0+\frac{dQ}{dt}{|}_{Q=Q_0,P=P_0}(P-P_0)=Q_0+\frac{K}{2\sqrt{P_0}}(P-P_0)$$
   则线性化流量方程为
   $$\Delta =\frac{K}{2\sqrt{P_0}}\Delta P$$
   省去符号$"\Delta "$，上式简写为：
   $$Q=K_{1}P，K_1=\frac{K}{2\sqrt{P_0}}$$

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5. 输出响应
   题目：设系统的传递函数为$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{2}{s^2+3s+2}$$
   初始条件为：$c(0)=-1；\frac{dc(0)}{dt}=0$。试求单位阶跃输入$r(t)=1(t)$时，系统的输出响应$c(t)$。
   考点分析：拉氏变换法研究系统传递函数与输出响应的相互关系。
   解：
   传递函数对应的微分方程为：
   $$\frac{d^{2}c(t)}{d{t}^2}+3\frac{dc(t)}{dt}+2c(t)=2r(t)$$
   对上式两边同时进行拉氏变换，得
   $$[s^{2}C(s)-sc(0)-\frac{dc(0)}{dt}]+3[sC(s)-c(0)]+2C(s)=2R(s)$$
   输入为$r(t)=1(t)，即R(s)=\frac{1}{s}，代入初始条件c(0)=-1，\frac{dc(0)}{dt}=0$得$$C(s)=\frac{2-3s-s^2}{s(s^2+3s+2)}=\frac{1}{s}-\frac{4}{s+1}+\frac{2}{s+2}$$
   对上式进行拉氏反变换，得输出响应为：
   $$c(t)=1-4e^{-t}+2e^{-2t}(t\ge 0)$$

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6. 下图中，已知$G(s)和H(s)$两方框对应的微分方程分别是
   $$6\frac{dc(t)}{dt}+10c(t)=20e(t)，20\frac{db(t)}{dt}+5b(t)=10c(t)$$
   且初始条件均为零，试求传递函数$C(s)/R(s)及E(s)/R(s)$。
   考点分析：系统微分方程与系统传递函数的转换方法。
   解：
   对题设微分方程两边同时进行拉氏变换，得
   $$\begin{gathered} 6sC(s)+10C(s)=20E(s) \\ 20sB(s)+5B(s)=10C(s) \end{gathered}$$
   可得：
   $$\begin{gathered} G(s)=\frac{C(s)}{E(s)}=\frac{20}{6s+10}=\frac{10}{3s+5} \\ H(s)=\frac{B(s)}{C(s)}=\frac{10}{20s+5}=\frac{2}{4s+1} \end{gathered}$$
   可得：
   $$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{10G(s)}{1+G(s)H(s)}=\frac{100(4s+1)}{12s^2+23s+25}$$
   因为$$E(s)=M(s)-B(s)=10R(s)-H(s)C(s)=[10-H(s)\Phi (s)]R(s)$$
   则有：$${\Phi }_e(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=10-H(s)\Phi (s)=10-\frac{2}{4s+1}\cdot \frac{100(4s+1)}{12s^2+23s+25}=\frac{10(12s^2+23s+5)}{12s^2+23s+25}$$
   因此，
   $$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{100(4s+1)}{12s^2+23s+25}，{\Phi }_e(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{10(12s^2+23s+5)}{12s^2+23s+25}$$

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7. 求下图有源网络的传递函数$U_o(s)/U_i(s)$。
   
   考点分析：用等效复数阻抗方法推导有源网络的传递函数的方法。
   解：
   a.对于图a所示，可得：
   $$\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=-\frac{R_1}{\frac{R_0\cdot \frac{1}{C_{0}s}}{R_0+\frac{1}{C_{0}s}}}=-\frac{R_1}{R_0}(R_0{C}_{0}s+1)$$
   b.对于图b所示，可得：
   $$\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=-\frac{R_1+\frac{1}{C_{1}s}}{\frac{R_0\cdot \frac{1}{C_{0}s}}{R_0+\frac{1}{C_{0}s}}}=-\frac{R_1{C}_1{R}_0{C}_0{s}^2+(R_1{C}_1+R_0{C}_0)s+1}{R_0{C}_{1}s}$$
   c.对于图c所示，可得：
   $$\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=-\frac{\frac{R_1\cdot (R_2+\frac{1}{C_{2}s})}{R_1+(R_2+\frac{1}{C_{2}s})}}{R_0}=-\frac{R_1}{R_0}\cdot \frac{R_2{C}_{2}s+1}{(R_1+R_2)C_{2}s+1}$$

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8. 题目：由运算放大器组成的控制系统模拟电路如下图所示，试求闭环传递函数$U_o(s)/U_i(s)$。
   
   考点分析：用等效复数阻抗法推导网络模拟系统的传递函数。
   解：
   如上图所示，令第一级运算放大器输出为$U_1$，第二级运算符放大器输出为$U_2$，可得：
   $$U_1=-\frac{R_1\frac{1}{C_{1}s}}{R_1+\frac{1}{C_{1}s}}(\frac{U_i}{R_0}+\frac{U_o}{R_0})$$
   $$因为\frac{U_2}{U_1}=-\frac{1}{R_0{C}_{2}s}，故有U_1=-R_0{C}_{2}s{U}_2；$$
   $$因为\frac{U_o}{U_2}=-\frac{R_2}{R_0}，故有U_2=-\frac{R_0}{R_2}{U}_o$$
   则有：
   $$U_1=-R_0{C}_{2}s{U}_2=(-R_0{C}_{2}s)\cdot (-\frac{R_0}{R_2}{U}_o)=\frac{R_0^2}{R_2}{C}_{2}s{U}_o$$
   所以：
   $$U_1=-\frac{R_1\cdot \frac{1}{C_{1}s}}{R_1+\frac{1}{C_{1}s}}(\frac{U_i}{R_0}+\frac{U_o}{R_0})=\frac{R_0^2}{R_2}{C}_{2}s{U}_o$$
   整理得：
   $$\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\frac{-R_1{R}_2}{R_0^3(R_1{C}_{1}s+1)C_{2}s+R_1{R}_2}$$

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9. 题目：某位置随动系统原理方块图如下图所示，已知电位器最大工作角度${\theta }_{max}=330°$,功率放大级放大系数为$K_3$，要求：
   a.分别求出电位器传递系数$K_0$，第一级和第二级放大器得比例系数$K_1、K_2$；
   b.画出系统结构图；
   c.简化结构图，求系统传递函数${\Theta }_o(s)/{\Theta }_i(s)$。
   
   考点分析：通过系统的原理图得出结构图，并简化结构图，求出系统闭环传递函数。
   解：
   $a.求K_0、K_1、K_2$。
   $$K_0=\frac{E}{{\theta }_m}=\frac{30}{330°\times \frac{\pi }{180°}}=\frac{180}{11\pi }=5.21(V/rad)$$
   $$K_1=\frac{30\times 10^3}{10\times 10^3}=3，K_2=\frac{20\times 10^3}{10\times 10^3}=2$$
   $b.系统结构图，假设电动机的时间常数为T_m，可得直流电动机的传递函数为：$
   $$\frac{\Omega (s)}{U_a(s)}=\frac{K_m}{T_{m}s+1}，K_m为直流电动机的传递系数。$$
   $假设测速发电机的斜率为K_t，则其传递函数为：$
   $$\frac{U_t(s)}{\Omega (s)}=K_t$$
   $系统结构图如下：$
   
   $c.系统传递函数。$
   $$\frac{{\Theta }_0(s)}{{\Theta }_i(s)}=\frac{K_0{K}_1\cdot \frac{K_2{K}_3{K}_m}{T_{m}s+1+K_2{K}_3{K}_m{K}_t}\cdot \frac{1}{s}}{1+K_0{K}_1\cdot \frac{K_2{K}_3{K}_m}{T_{m}s+1+K_2{K}_3{K}_m{K}_t}\cdot \frac{1}{s}}=\frac{K_0{K}_1{K}_2{K}_3{K}_m}{T_m{s}^2+(1+K_2{K}_3{K}_m{K}_t)s+K_0{K}_1{K}_2{K}_3{K}_m}$$

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10. 题目：试化简下系统结构图，并求传递函数$C(s)/R(s)$和$C(s)/N(s)$。
    
    考点分析：结构图的等效变换。
    解：
    $a.仅考虑输入R(s)作用于系统时，系统结构图如下所示：$
    
    $简化结构图，如下图所示：$
    
    $可得传递函数如下：$
    $$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\frac{G_1{G}_2}{1+G_1{G}_2{H}_1}}{1+\frac{G_1{G}_2}{1+G_1{G}_2{H}_1}}=\frac{G_1{G}_2}{1+G_1{G}_2+G_1{G}_2{H}_1}$$
    $b.仅考虑输入N(s)作用于系统时，系统结构图如下所示：$
    
    $等效结构图如下：$
    
    $简化结构图如下：$
    
    $传递函数如下：$
    $$\frac{C(s)}{N(s)}=(\frac{G_2{G}_3}{1+G_1{G}_2{H}_1}-1)\cdot \frac{1}{1+\frac{G_1{G}_2}{1+G_1{G}_2{H}_1}}=-\frac{1-G_2{G}_3+G_1{G}_2{H}_1}{1+G_1{G}_2+G_1{G}_2{H}_1}$$

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11. 题目：绘制下系统结构图对应的信号流图，并用梅森增益公式求传递函数$C(s)/R(s)和E(s)/R(s)。$
    
    考点分析：考查系统结构图和信号流图的转化，运用梅森公式求解传递函数。
    解：
    根据系统结构图，得信号流图如下所示：
    
    a.用梅森增益公式求传递函数$C(s)/R(s)$，由信号流图可知：本系统有两条前向通道，三个单独回路，其中一对回路互不接触，有：
    $$L_1=-G_1{H}_1，L_2=-G_3{H}_2，L_3=-G_1{G}_2{G}_3{H}_1{H}_2$$
    $$L_1与L_2不接触，L_1{L}_2=G_1{G}_3{H}_1{H}_2$$
    $$\Delta =1-(L_1+L_2+L_3)+L_1{L}_2=1+G_1{H}_1+G_3{H}_2+G_1{G}_2{G}_3{H}_1{H}_2+G_1{G}_3{H}_1{H}_2$$
    $$p_1=G_1{G}_2{G}_3，{\Delta }_1=1；p_2=G_3{G}_4，L_1与p_2不接触，{\Delta }_2=1+G_1{H}_1$$
    由梅森增益公式得传递函数$C(s)/R(s)$为：
    $$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{{\sum }_{}{p}_i{\Delta }_i}{\Delta }=\frac{G_1{G}_2{G}_3+G_3{G}_4(1+G_1{H}_1)}{1+G_1{H}_1+G_3{H}_2+G_1{G}_2{G}_3{H}_1{H}_2+G_1{G}_3{H}_1{H}_2}$$
    b.用梅森增益公式求传递函数$E(s)/R(s)$，由信号流图可知：本系统有两条前向通道，三个单独回路，其中一对回路互不接触，有：
    $$L_1=-G_1{H}_1，L_2=-G_3{H}_2，L_3=-G_1{G}_2{G}_3{H}_1{H}_2$$
    $$L_1与L_2不接触，L_1{L}_2=G_1{G}_3{H}_1{H}_2$$
    $$\Delta =1-(L_1+L_2+L_3)+L_1{L}_2=1+G_1{H}_1+G_3{H}_2+G_1{G}_2{G}_3{H}_1{H}_2+G_1{G}_3{H}_1{H}_2$$
    $$p_1=1，L_2与p_1不接触，{\Delta }_1=1+G_3{H}_2；p_2=-G_3{G}_4{H}_1{H}_2，{\Delta }_2=1$$
    由梅森增益公式得传递函数$E(s)/R(s)$：
    $$\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{{\sum }_{}{p}_i{\Delta }_i}{\Delta }=\frac{1+G_3{H}_2-G_3{G}_4{H}_1{H}_2}{1+G_1{H}_1+G_3{H}_2+G_1{G}_2{G}_3{H}_1{H}_2+G_1{G}_3{H}_1{H}_2}$$