自动控制--控制系统建模篇

本博文通过实例对控制系统建模进行介绍，展示使用MATLAB对控制系统进行建模，其每个传递函数这是用作例子展示，其合理性还需完善，但其目的是让同学们学会控制系统的建模方法。

1. 控制系统的方框图。
   
   注：控制系统各传递函数如下：
   $G_1(s)=\frac{1}{s^2+2s}$；$G_2(s)=\frac{1}{(0.5s+1)(s+6)}$；$G_3(s)=\frac{s+1}{s(s+3)}$；

   $G_4(s)=\frac{1}{s+1}$；$H_1(s)=\frac{s+2}{s+8}$；$H_2(s)=1$。均为负反馈。

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2. 控制系统代码区，求$C(s)/R(s)$。

%建立各传递函数的模型
G1=tf([1],[1 2 0]);    %传递函数为一般形式
num2=1;den2=conv([0.5 1],[1 6]);G2=tf(num2,den2);   %传递函数的分子分母是连乘形式
G3=zpk([-1],[0 -3],1); %传递函数零极点形式
G4=tf([1],[1 1]);
H1=zpk([-2],[-8],1);
H2=1;

%将系统模型进行连接
G12=parallel(G1,G2);   %G1和G2并联
G34=series(G3,G4);     %G3和G4串联
G34_H1_feedback=feedback(G34,H1,-1);  %G3和G4，H1构成局部反馈
Gk=series(G12,G34_H1_feedback);       
G=feedback(Gk,H2,-1)                  %闭环传递函数

%结果为：
                          3 (s+8) (s+2)^2 (s+1)
  ---------------------------------------------------------------------
  (s+7.847) (s+5.968) (s+3.182) (s+2)^2 (s+1) (s^2 + 0.002539s + 0.161)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

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3. 建立模型知识点剖析
   ① 传递函数为一般形式时，如$G_1(s)=\frac{1}{s^2+2s}$，模型建立方式如下：
   命令格式：$sys=tf(num,den,Ts)$;
   其中：
   $num$为分子多项式降幂排列的系数向量；
   $den$为分母多项式降幂排列的系数向量；
   $Ts$为采样时间，缺省时为连续传递函数；
   $G_1(s)=\frac{1}{s^2+2s}$可描述为：$G_1(s)$=tf([1],[1 2 0]);
   ② 传递函数的分子、分母为连乘形式，如$G_2(s)=\frac{1}{(0.5s+1)(s+6)}$，模型建立方式如下：
   使用$conv$命令进行多项式相乘，得到分子、分母多项式降幂排列后的系数向量，再用$tf$命令，命令同上。
   $G_2(s)=\frac{1}{(0.5s+1)(s+6)}$可描述为：$num2=1;$
   $den2=conv$([0.5 1],[1 6]);$G2=tf(num2,den2);$
   ③ 传递函数为零极点表示时，如$G_3(s)=\frac{s+1}{s(s+3)}$，模型建立方式如下：
   命令格式：$sys=zpk(z,p,k,Ts)$
   其中：
   $z$为系统的零点；
   $p$为系统的极点；
   $k$为系统的增益；
   $Ts$为采样时间，缺省表示连续系统。

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4. 系统连接知识点剖析
   各个子控制系统基本连接方式：串联、并联、反馈，三种基本形式如下图标示：
   
   ① 系统的并联连接，如$G_1(s)，G_2(s)$，其命令如下：
   命令格式：$sys=parallel(sys1,sys2)$
   $G_1,G_2并联：$$G_{12}(s)=parallel(G_1(s),G_2(s))$
   ② 系统的串联连接，如$G_3(s)，G_4(s)$，其命令如下：
   命令格式：$sys=series(sys1,sys2)$
   $G_3,G_4串联：$$G_{34}(s)=series(G_3(s),G_4(s))$
   ③ 系统的反馈连接，如$G_3(s)，G_4(s)，H_1(s)$构成局部反馈，其命令如下：
   命令格式：$sys=feedback(sys1,sys2,sign)$
   其中：$sign$用于说明反馈类型(负反馈还是正反馈)，缺省时表示负反馈，$sign=-1$
   $G_3,G_4,H_1构成的局部反馈如下：$
   $GH=feedback(series(G_3(s),G_4(s)),H_1(s),-1)$

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5. 模型转换知识点
   命令格式：
   ① $[num,den]=zp2tf(z,p,k)$，用于将零极点模型转换成传递函数模型；
   ② $[z,p,k]=tf2zp(num,den)$，用于将传递函数模型转换成零极点模型。

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6. 延伸：传递函数框图变换规则
   ① 框图串联
   
   ② 框图并联
   
   ③ 反馈等效
   
   ④比较点前移
   
   ⑤ (可选部分)比较点后移
   
   ⑥ 引出点前移
   
   ⑦ (可选部分)引出点后移
   

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7. 综合训练题
   
   已知条件：$G_1(s)=\frac{1}{s+10}$；$G_2(s)=\frac{1}{s+1}$；$G_3(s)=\frac{s^2+1}{s^2+4s+4}$；$G_4(s)=\frac{s+1}{s+6}$；$H_1(s)=\frac{s+1}{s+2}$；$H_2(s)=2$；$H_3(s)=1$。

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8. 小结
   

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9. 综合训练题提示及参考答案
   ① 训练题目
   
   已知条件：$G_1(s)=\frac{1}{s+10}$；$G_2(s)=\frac{1}{s+1}$；$G_3(s)=\frac{s^2+1}{s^2+4s+4}$；$G_4(s)=\frac{s+1}{s+6}$；$H_1(s)=\frac{s+1}{s+2}$；$H_2(s)=2$；$H_3(s)=1$。
   ② 训练题目提示
   
   ③ 训练题目代码

%建立各子系统模型
G1=tf([1],[1 10]);
G2=tf([1],[1 1]);
G3=tf([1 0 1],[1 4 4]);
numG4=[1 1];denG4=[1 6];G4=tf(numG4,denG4);   
H1=zpk([-1],[-2],1);
numH2=[2];denH2=[1];H3=1;
nH2=conv(numH2,denG4);dH2=conv(denH2,numG4);
H2=tf(nH2,dH2);  %将H2处引出点移到G4后面

%各个子系统的连接情况
G34=series(G3,G4);
G34_H1=feedback(G34,H1,+1);         %G3，G4，H1组成的子系统模型
G2_34_H1=series(G2,G34_H1);
G2_34_H1_H2=feedback(G2_34_H1,H2);  %H2构成反馈回路的子系统模型
G=series(G1,G2_34_H1_H2);
GH=feedback(G,H3)                   %H3构成反馈回路的闭环传递函数

%代码运行的结果
GH =
 
              0.083333 (s+1)^2 (s+2) (s^2 + 1)
  ---------------------------------------------------------
  (s+10.12) (s+2.44) (s+2.349) (s+1) (s^2 + 1.176s + 1.023)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.