本博文通过实例对控制系统建模进行介绍,展示使用MATLAB对控制系统进行时域分析,其每个传递函数这是用作例子展示,其合理性还需完善,但其目的是让同学们学会控制系统的时域分析方法。
- 控制系统的方框图。
- 时域分析代码区
① 先用系统建模方法,建立系统模型
%建立系统模型
G1=tf([1],[1 0]);
G2=tf([1],[1 1]);
H=1;
%系统连接
G12=series(G1,G2);
GH=feedback(G12,H,-1) %控制系统闭环函数
%系统模型如下:
GH =
1
-----------
s^2 + s + 1
Continuous-time transfer function.
② 由上可知,控制系统模型为 Φ ( s ) = 1 s 2 + s + 1 \Phi(s)=\frac{1}{s^2+s+1} Φ(s)=s2+s+11,进行系统稳定性分析和时域分析
a.稳定性分析
%系统稳定性分析
den=[1 1 1]; %特征方程的系数
p=roots(den) %获取特征根,判断系统稳定性
%系统的特征根均具有负实部,故系统稳定
p =
-0.5000 + 0.8660i
-0.5000 - 0.8660i
b.单位脉冲响应
%系统的时域分析
t=0:0.01:15; %设定仿真时间为15s
%系统的单位脉冲响应
figure(1)
impulse(GH,t);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('impulse response');
c.单位阶跃响应
%系统的时域分析
t=0:0.01:15; %设定仿真时间为15s
%系统的单位阶跃响应
figure(2)
step(GH,t);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('step response');
d.单位斜坡响应
%系统的时域分析
t=0:0.01:15; %设定仿真时间为15s
%系统的单位斜坡响应
figure(3)
u=t;
lsim(GH,u,t,0);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('ramp response');
- 稳定性和时域分析知识点剖析
① 稳定性分析
线性系统稳定的充分必要条件:闭环系统特征方程的所有根均具有负实部。
命令格式: p = r o o t s ( d e n ) p=roots(den) p=roots(den)
其 中 : d e n 为 特 征 多 项 式 降 幂 排 列 的 系 数 向 量 ; p 为 特 征 根 。 其中:den为特征多项式降幂排列的系数向量;p为特征根。 其中:den为特征多项式降幂排列的系数向量;p为特征根。
② 时域分析
a.单位脉冲响应
命令格式: c ( t ) = i m p u l s e ( s y s , t ) c(t)=impulse(sys,t) c(t)=impulse(sys,t)
其 中 : i m p u l s e 为 脉 冲 响 应 ; t 为 仿 真 时 间 , 可 以 缺 省 。 其中:impulse为脉冲响应;t为仿真时间,可以缺省。 其中:impulse为脉冲响应;t为仿真时间,可以缺省。
b.单位阶跃响应
命令格式: c ( t ) = s t e p ( s y s , t ) c(t)=step(sys,t) c(t)=step(sys,t)
其 中 : s t e p 是 阶 跃 响 应 ; t 为 仿 真 时 间 , 可 以 缺 省 。 其中:step是阶跃响应;t为仿真时间,可以缺省。 其中:step是阶跃响应;t为仿真时间,可以缺省。
c.任意输入响应
命令格式: c ( t ) = l s i m ( s y s , u , t , x 0 ) c(t)=lsim(sys,u,t,x0) c(t)=lsim(sys,u,t,x0)
其 中 : l s i m 可 绘 制 任 意 输 入 响 应 曲 线 ; u 表 示 输 入 , 如 单 位 斜 坡 表 示 为 u = t ; x 0 设 定 初 始 状 态 , 缺 省 时 为 0 ; t 用 于 设 定 仿 真 时 间 , 可 以 缺 省 。 其中:lsim可绘制任意输入响应曲线;u表示输入,如单位斜坡表示为u=t;x0设定初始状态,缺省时为0;t用于设定仿真时间,可以缺省。 其中:lsim可绘制任意输入响应曲线;u表示输入,如单位斜坡表示为u=t;x0设定初始状态,缺省时为0;t用于设定仿真时间,可以缺省。
- 延伸知识点
a.动态性能
定义:描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下,动态过程随时间 t t t的变化状况的指标,称为动态性能指标,如下图:
其 中 : 其中: 其中:
上 升 时 间 t r : 指 响 应 从 零 第 一 次 上 升 到 终 值 的 90 % 所 需 的 时 间 ; 对 于 有 振 荡 系 统 , 定 义 为 响 应 从 零 第 一 次 上 升 到 终 值 所 需 时 间 ; 上 升 时 间 越 短 , 响 应 速 度 越 快 上升时间t_r:指响应从零第一次上升到终值的90\%所需的时间;对于有振荡系统,定义为响应从零第一次上升到终值所需时间;上升时间越短,响应速度越快 上升时间tr:指响应从零第一次上升到终值的90%所需的时间;对于有振荡系统,定义为响应从零第一次上升到终值所需时间;上升时间越短,响应速度越快
峰 值 时 间 t p : 指 响 应 超 过 其 终 值 到 达 第 一 个 峰 值 的 时 间 。 峰值时间t_p:指响应超过其终值到达第一个峰值的时间。 峰值时间tp:指响应超过其终值到达第一个峰值的时间。
调 节 时 间 t s : 指 响 应 到 达 并 保 持 在 终 值 ± 5 % 或 ± 2 % 内 所 需 的 最 短 时 间 。 调节时间t_s:指响应到达并保持在终值±5\%或±2\%内所需的最短时间。 调节时间ts:指响应到达并保持在终值±5%或±2%内所需的最短时间。
超 调 量 σ % : 指 响 应 的 最 大 偏 移 量 c ( t p ) 与 终 值 c ( ∞ ) 的 差 与 终 值 c ( ∞ ) 比 的 百 分 数 , 即 超调量\sigma\%:指响应的最大偏移量c(t_p)与终值c(\infty)的差与终值c(\infty)比的百分数,即 超调量σ%:指响应的最大偏移量c(tp)与终值c(∞)的差与终值c(∞)比的百分数,即
σ % = c ( t p ) − c ( ∞ ) c ( ∞ ) × 100 % \sigma\%=\frac{c(t_p)-c(\infty)}{c(\infty)}\times100\% σ%=c(∞)c(tp)−c(∞)×100%
用 t r 或 t p 评 价 系 统 的 响 应 速 度 ; 用t_r或t_p评价系统的响应速度; 用tr或tp评价系统的响应速度;
用 σ % 评 价 系 统 的 阻 尼 程 度 ; 用\sigma\%评价系统的阻尼程度; 用σ%评价系统的阻尼程度;
t s 同 时 反 映 响 应 速 度 和 阻 尼 程 度 的 综 合 性 指 标 。 t_s同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 ts同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
b.欠阻尼二阶系统单位阶跃响应计算
二阶系统标准形式:
Φ ( s ) = C ( s ) R ( s ) = ω n 2 s 2 + 2 ζ ω n + ω n \Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n+\omega_n} Φ(s)=R(s)C(s)=s2+2ζωn+ωnωn2
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应:
c ( t ) = 1 − e − ζ ω n t sin ( ω d t + β ) , t ≥ 0 c(t)=1-e^{-\zeta\omega_nt}\sin(\omega_dt+\beta),t\geq0 c(t)=1−e−ζωntsin(ωdt+β),t≥0
式 中 : β = arctan ( 1 − ζ 2 / ζ ) , 或 者 β = arccos ζ 式中:\beta=\arctan(\sqrt{1-\zeta^2}/\zeta),或者\beta=\arccos\zeta 式中:β=arctan(1−ζ2/ζ),或者β=arccosζ; ω d = ω n 1 − ζ 2 \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} ωd=ωn1−ζ2
c.欠阻尼二阶系统单位阶跃动态性能指标计算
① 上升时间 t r t_r tr
t r = π − β ω d t_r=\frac{\pi-\beta}{\omega_d} tr=ωdπ−β
注:
当阻尼比 ζ 一 定 时 , 阻 尼 角 β \zeta一定时,阻尼角\beta ζ一定时,阻尼角β不变,系统的响应速度与 ω n 成 正 比 ; \omega_n成正比; ωn成正比;
而 当 阻 尼 振 荡 频 率 ω d 一 定 时 , 阻 尼 比 越 小 , 上 升 时 间 越 短 。 而当阻尼振荡频率\omega_d一定时,阻尼比越小,上升时间越短。 而当阻尼振荡频率ωd一定时,阻尼比越小,上升时间越短。
② 峰值时间 t p t_p tp
t p = π ω d t_p=\frac{\pi}{\omega_d} tp=ωdπ
注:
峰 值 时 间 等 于 阻 尼 振 荡 周 期 的 一 半 , 或 峰 值 时 间 与 闭 环 极 点 的 虚 部 数 值 成 反 比 ; 峰值时间等于阻尼振荡周期的一半,或峰值时间与闭环极点的虚部数值成反比; 峰值时间等于阻尼振荡周期的一半,或峰值时间与闭环极点的虚部数值成反比;
当 阻 尼 比 一 定 时 , 闭 环 极 点 离 负 实 轴 的 距 离 越 远 , 系 统 的 峰 值 时 间 越 短 。 当阻尼比一定时,闭环极点离负实轴的距离越远,系统的峰值时间越短。 当阻尼比一定时,闭环极点离负实轴的距离越远,系统的峰值时间越短。
③ 超调量 σ % \sigma\% σ%
σ % = e − π ζ 1 − ζ 2 × 100 % \sigma\%=e^{\frac{-\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\% σ%=e1−ζ2−πζ×100%
注:
超 调 量 σ % 仅 是 阻 尼 比 ζ 的 函 数 , 而 与 自 然 频 率 ω n 无 关 ; 超调量\sigma\%仅是阻尼比\zeta的函数,而与自然频率\omega_n无关; 超调量σ%仅是阻尼比ζ的函数,而与自然频率ωn无关;
阻 尼 比 越 大 , 超 调 量 越 小 。 阻尼比越大,超调量越小。 阻尼比越大,超调量越小。
④ 调节时间 t s t_s ts
误 差 带 取 Δ = 0.05 误差带取\Delta=0.05 误差带取Δ=0.05:
t s = 3.5 ζ ω n t_s=\frac{3.5}{\zeta\omega_n} ts=ζωn3.5
误 差 带 取 Δ = 0.02 误差带取\Delta=0.02 误差带取Δ=0.02:
t s = 4.4 ζ ω n t_s=\frac{4.4}{\zeta\omega_n} ts=ζωn4.4
- 综合训练题
已 知 系 统 的 闭 环 传 递 函 数 Φ = 16 s 2 + 8 ζ s + 16 , 其 中 ζ = 0.707 。 判 断 该 系 统 的 稳 定 性 , 已知系统的闭环传递函数\Phi=\frac{16}{s^2+8{\zeta}s+16},其中\zeta=0.707。判断该系统的稳定性, 已知系统的闭环传递函数Φ=s2+8ζs+1616,其中ζ=0.707。判断该系统的稳定性, 求 二 阶 系 统 的 单 位 脉 冲 响 应 、 单 位 阶 跃 响 应 、 单 位 斜 坡 响 应 , s i n t 输 入 的 响 应 。 求二阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应、单位斜坡响应,sint输入的响应。 求二阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应、单位斜坡响应,sint输入的响应。
a.判断系统的稳定性
%建立控制系统模型
zeta=0.707;
num=[16];den=[1 8*zeta 16];
G=tf(num,den);
%判断系统稳定性
p=roots(den)
%具有负实部,系统稳定
p =
-2.8280 + 2.8289i
-2.8280 - 2.8289i
b.系统的单位脉冲响应
%系统单位脉冲响应
t=0:0.01:3;
figure(1)
impulse(G,t);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('impulse response');
c.系统的单位阶跃响应
%系统单位阶跃响应
t=0:0.01:3;
figure(2)
step(G,t);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('step response');
d.系统的单位斜坡响应
%系统单位斜坡响应
t=0:0.01:3;
figure(3)
u=t;
lsim(G,u,t,0);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('ramp response');
e.正弦输入sint的响应
%正弦输入响应
figure(4)
t_2=0:0.01:10;
u_2=sin(t_2);
lsim(G,u_2,t_2,0);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('sin response');
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