自动控制原理(考研)理论篇--第八章(非线性控制系统分析)

导语

本博文基于自动控制原理(胡寿松第六版)全书，将知识点总结，便于同学们的复习，该篇属于自动控制原理的理论篇，理论性东西较多，阅读起来难免有点枯燥，但既然坚持了，那就把它读完吧，因作者也是在复习考研，也是刚毕业的大学生，总结的东西难免会有所纰漏，如发现，请在评论区提醒，望共同进步，考研成功上岸！

8.1 非线性控制系统概述

当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。

1. 非线性系统的特征
   a.稳定性分析复杂
   非线性系统可能存在多个平衡状态，各平衡状态可能是稳定的，也可能是不稳定的；
   非线性系统平衡状态的稳定性与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件有关。
   b.可能存在自激振荡现象
   自激振荡指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自振；
   注：线性系统在无外界周期变化信号作用时所具有的周期运动不是自激振荡。
   c.频率响应发生畸变
   稳定的线性系统的频率响应，即正弦信号作用下的稳态输出量是与输入同频率的正弦信号，其幅值$A$和相位$\phi$为输入正弦信号频率$\omega$的函数；
   非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量外，还含有关于$\omega$的高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变，若系统含有多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。
2. 非线性系统的分析与设计方法
   a.相平面法
   相平面法是推广应用时域分析法的一种图解分析方法，相平面法仅适用一阶和二阶系统；
   b.描述函数法
   描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分析方法；
   c.逆系统法
   逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以此为基础，设计外环控制网络。

8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响

实际系统中常见的非线性因素：继电特性、死区、饱和、间隙和摩擦。

1. 非线性特性的等效增益
   设非线性特性可以表示为：
   $$y=f(x)$$
   将非线性特性视为一个环节，环节的输入为$x$，输出为$y$，定义非线性环节输出$y$和输入$x$的比值为等效增益：
   $$k=\frac{y}{x}=\frac{f(x)}{x}$$
   非线性特性视为变增益比例环节。
   
   a.继电特性
   继电器、接触器和可控硅等电气元件的特性通常表现为继电特性；
   继电特性等效增益：当输入$x$趋于零，等效增益趋于无穷大；由于输入$y$的幅值保持不变，因此当$|x|$增大时，等效增益减小，$|x|$趋于无穷大时，等效增益趋于零。
   b.死区特性
   测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区会表现为死区特性；
   死区特性等效增益：当$|x|<\Delta$时，$k=0$；当$|x|>\Delta$时，$k$为$|x|$的增函数，且随$|x|$趋于无穷时，$k$趋于$k_0$。
   c.饱和特性
   放大器及执行机构受电源或功率的限制导致饱和现象；
   饱和特性等效增益：当输入$|x|\le a$时，输出$y$随输入$x$线性变化，等效增益$k=k_0$；当$|x|>a$时，输出量保持常值，$k$为$|x|$的减函数，且随$|x|$趋于无穷而趋于零。
   d.间隙特性
   齿轮、涡轮轴系的加工及装配误差或磁滞效应会形成间隙特性；
   间隙特性为非单值函数：
   $$y=\{\begin{array}{rlr}{k}_0(x-b)，& & \dot{x}>0，x>-(a-2b)\\ k_0(a-b)，& & \dot{x}<0，x>(a-2b)\\ k_0(x+b)，& & \dot{x}<0，x<(a-2b)\\ k_0(-a+b)，& & \dot{x}>0，x<-(a-2b)\end{array}$$
   e.摩擦特性
   摩擦特性是机械传动机构中普遍存在的非线性特性；
   $$\begin{gathered} 在等效增益图中, \\ {F}_1是物体开始运动所需克服的静摩擦力； \\ 当系统开始运动后，则变为动摩擦力F_2； \\ 第三种摩擦力为黏性摩擦力，与物体运动的滑动平面相对速率成正比 \end{gathered}$$。
   摩擦特性等效增益：
   摩擦特性等效增益为物体运动速率$|\dot{x}|$的减函数，$|\dot{x}|$趋于无穷大时，等效增益趋于$k_0$；当$|\dot{x}|$在零附近作微小变化时，由于静摩擦力和动摩擦力的突变式转变，等效增益变化剧烈。
2. 常见非线性因素对系统运动的影响
   等效增益表示的非线性系统如下：
   
   $图中：k为非线性特性的等效增益；G(s)为最小相位线性部分的传递函数。$
   $非线性因素对系统运动的影响体现为通过开环增益的变化改变系统的闭环极点的位置。$
   a.继电特性
   继电特性常常使系统产生振荡现象。
   b.死区特性
   死区特性使系统存在稳态误差。
   c.饱和特性
   饱和特性使系统的开环增益在饱和区时下降。
   d.间隙特性
   间隙特性降低系统的跟踪精度。
   e.摩擦特性
   摩擦特性造成系统低速运动的不平滑性，即当系统的输入轴作低速平稳运转时，输出轴的旋转呈现跳跃式的变化。

8.3 相平面法

1. 相平面的基本概念
   如下常微分方程描述的二阶时不变系统：
   $$\ddot{x}=f(x,\dot{x})$$
   $其中：f(x,\dot{x})是x(t)和\dot{x(t)}的线性或非线性函数。$
   $x(t)和\dot{x}(t)称为系统运动的相变量，以x(x)为横坐标，\dot{x}(t)为纵坐标构成的直角坐标平面称为相平面；相变量从初始时刻t_0对应的状态点(x_0,\dot{x_0})起，随着时间t的推移，在相平面上运动形成的曲线称为相轨迹；多个初始条件下的运动对应多余相轨迹，形成相轨迹簇，由一簇相轨迹所组成的图形称为相平面。$
   $$\dot{x}\frac{d\dot{x}}{dx}=f(x,\dot{x})$$
2. 相轨迹绘制的等倾线法
   等倾线法的基本思想是：先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。
   相轨迹微分方程：
   $$\frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}$$
   取相轨迹切线的斜率为某一常数$\alpha$，得等倾线方程：
   $$\dot{x}=\frac{f(x,\dot{x})}{\alpha }$$
3. 奇点和奇线
   a.奇点
   ① $以微分方程\ddot{x}=f(x,\dot{x})表示的二阶系统，其相轨迹上每一点切线的斜率为\frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}，若在某点处f(x,\dot{x})和\dot{x}同时为零，即有\frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{0}{0}的不定形式，则称该点为相平面的奇点。$
   ② $在奇点处，多条相轨迹相交；在相轨迹的非奇点处，不同时满足\dot{x}=0和f(x,\dot{x})=0，相轨迹的切线斜率是一个确定的值，因此，经过普通点的相轨迹只有一条。$
   ③ $在奇点处，\dot{x}=0，\ddot{x}=f(x,\dot{x})=0，系统的速度和加速度同时为零，对于二阶系统来说，系统不再发生运动，处于平衡状态，因此，相平面的奇点称为平衡点。$
   二阶系统按特征根在$s$平面上的分布，划分线性二阶系统奇点(0,0)的类型：
   ① 焦点。
   特征根为一对具有负实部的共轭复根时，奇点为稳定焦点；
   特征根为一对具有正实部的共轭复根时，奇点为不稳定焦点。
   ② 节点。
   当特征根为两个负实根时，奇点为稳定节点；
   当特征根为两个正实根时，奇点为不稳定节点。
   ③ 鞍点。
   当特征根一个为正实根，一个负实根时，奇点为鞍点。
   $对于常微分方程\ddot{x}=f(x,\dot{x})，若f(x,\dot{x})解析，设(x_0,\dot{x_0})为非线性系统的某个奇点，则可将f(x,\dot{x})在奇点处展开成泰勒级数，在奇点的小邻域内，略去\Delta x=x-x_0和\Delta \dot{x}=\dot{x}-\dot{x_0}的高次项，即取一次近似，则得到奇点附近关于x增量\Delta x的线性二阶微分方程$：
   $$\Delta \ddot{x}=\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial x}{|}_{x=x_0,\dot{x}=\dot{x_0}}\Delta x+\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}}{|}_{x=x_0,\dot{x}=\dot{x_0}}\Delta \dot{x}$$
   b.奇线
   奇线就是特殊的相轨迹，它将相平面划分为具有不同运动特点的各个区域；
   最常见的奇线是极限环，极限环把相平面划分为内部平面和外部平面两部分，相轨迹不能从环内穿越极限环进入环外，或者不能从环外穿越极限环进入环内；
   极限环是相互孤立的，在任何极限环的邻近都不可能有其他的极限环；
   根据极限环邻近相轨迹的运动特点，将极限环分为以下三种类型：
   ① 稳定的极限环。
   $$\begin{gathered} 当t\to \infty 时， \\ 如果起始于极限环内部或外部的相轨迹均卷向极限环，则该极限环叫做稳定的极限环 \end{gathered}$$；
   ② 不稳定极限环。
   $$\begin{gathered} 当t\to \infty 时， \\ 如果起始于极限环内部或外部的相轨迹均卷离极限环，则该极限环叫做不稳定的极限环 \end{gathered}$$；
   ③ 半稳定极限环。
   $$\begin{gathered} 当t\to \infty 时， \\ 如果起始于极限环内(外)部的相轨迹卷向极限环，而起始于极限环外(内)部的相轨迹卷离极限环，则这种极限环叫做半稳定的极限环。 \end{gathered}$$
4. 非线性系统的相平面分析
   注：此部分省略，需要自行学习。

8.4 描述函数法

描述函数法基本思想：当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。
1.描述函数的基本概念
a.描述函数的定义
设非线性环节输入输出描述为：
$$y=f(x)$$
当非线性环节的输入信号为正弦信号：
$$x(t)=Asin\omega t$$
一般情况下，$y(t)$为非正弦的周期信号，展开为傅里叶级数：
$$y(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }(A_n\cos n\omega t+B_n\sin n\omega t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{Y}_n\sin (n\omega t+{\phi }_n)$$
$式中：A_0为直流分量；Y_n\sin (n\omega t+{\phi }_n)为第n次谐波分量，且有$：
$$Y_n=\sqrt{A_n^2+B_n^2}，{\phi }_n=\arctan \frac{A_n}{B_n}$$
$式中：A_n，B_n为傅里叶系数$，
$$A_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y(t)\cos n\omega td\omega t，B_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y(t)\sin n\omega t，(n=1,2,\dots )$$
直流分量为：
$$A_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }y(t)d\omega t$$
$若A_0且当n>1时，Y_n均很小，则可近似认为非线性环节的正弦响应仅有一次谐波分量$：
$$y(t)\approx A_1\cos \omega t+B_1\sin \omega t=Y_1\sin (\omega t+{\phi }_1)$$
定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用$N(A)表示，即$：
$$N(A)=|N(A)|e^{j\angle N(A)}=\frac{Y_1}{A}{e}^{j{\phi }_1}=\frac{B_1+j{A}_1}{A}$$
b.非线性系统描述函数法分析的应用条件
① 非线性系统应简化成一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构图，如下图：

② 非线性环节的输入输出特性$y(x)$应是$x$的奇函数，即$f(x)=-f(-x)$，或正弦输入下的输出为$t$的奇对称函数，即$y(t+\frac{\pi }{\omega })=-y(t)$，以保证非线性环节的正弦响应不含有常值分量，即$A_0=0$；
③ 系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能；线性部分的阶次越高，低通滤波性能越好，具有低通滤波性能的条件：线性部分的极点应位于复平面的左半平面。
c.描述函数的物理意义
线性系统的频率特性反映正弦作用下，系统稳态输出中与输入同频率的分量的幅值和相位相对于输入信号的变化；
非线性环节的描述函数反映非线性系统正弦响应中一次谐波分量的幅值和相位相对于输入信号的变化；
线性系统的频率特性是输入正弦信号频率$\omega$的函数，与正弦信号的幅值$A$无关，描述函数表示的非线性环节的近似频率特性是输入正弦信号幅值$A$的函数，这是非线性环节的近似频率特性与线性系统频率特性的本质区别。

2. 典型非线性特性的描述函数
   
   a.理想继电特性(库仑摩擦)及其描述函数
   
   描述函数为：
   $$N(A)=\frac{4M}{\pi A}$$
   b.有死区的继电特性及其描述函数
   
   描述函数为：
   $$N(A)=\frac{4M}{\pi A}\sqrt{1-(\frac{h}{A}{)}^2}，A\ge h$$
   c.有滞环的继电特性及其描述函数
   
   描述函数为：
   $$N(A)=\frac{4M}{\pi A}\sqrt{1-(\frac{h}{A}{)}^2}-j\frac{4Mh}{\pi A^2}，A\ge h$$
   d.有死区与滞环的继电特性及其描述函数
   
   描述函数为：
   $$N(A)=\frac{2M}{\pi A}[\sqrt{1-(\frac{mh}{A}{)}^2}+\sqrt{1-(\frac{h}{A}{)}^2}]+j\frac{2Mh}{\pi A^2}(m-1)，A\ge h$$
   e.饱和特性及其描述函数
   
   描述函数为：
   $$N(A)=\frac{2K}{\pi }[\arcsin \frac{a}{A}+\frac{a}{A}\sqrt{1-(\frac{a}{A}{)}^2}]，A\ge a$$
   f.有死区的饱和特性及其描述函数
   
   描述函数为：
   $$N(A)=\frac{2K}{\pi }[\arcsin \frac{a}{A}-\arcsin \frac{\Delta }{A}+\frac{a}{A}\sqrt{1-(\frac{a}{A}{)}^2}-\frac{\Delta }{A}\sqrt{1-(\frac{\Delta }{A}{)}^2}]，A\ge a$$
   g.死区特性及其描述函数
   
   描述函数为：
   $$N(A)=\frac{2K}{\pi }[\frac{\pi }{2}-\arcsin \frac{\Delta }{A}-\frac{\Delta }{A}\sqrt{1-(\frac{\Delta }{A}{)}^2}]，A\ge \Delta$$
   h.间隙特性及其描述函数
   
   描述函数为：
   $$N(A)=\frac{K}{\pi }[\frac{\pi }{2}+\arcsin (1-\frac{2b}{A})+2(1-\frac{2b}{A})\sqrt{\frac{b}{A}(1-\frac{b}{A})}]+j\frac{4Kb}{\pi A}(\frac{b}{A}-1)，A\ge b$$
   i.变增益特性及其描述函数
   
   描述函数为：
   $$N(A)=K_2+\frac{2(K_1-K_2)}{\pi }[\arcsin \frac{s}{A}+\frac{s}{A}\sqrt{1-(\frac{s}{A}{)}^2}]，A\ge s$$
   j.有死区的线性特性及其描述函数
   
   描述函数为：
   $$N(A)=K-\frac{2K}{\pi }\arcsin \frac{\Delta }{A}+\frac{4M-2K\Delta }{\pi A}\sqrt{1-(\frac{\Delta }{A}{)}^2}，A\ge \Delta$$
   k.库仑摩擦加黏性摩擦及其描述函数
   
   描述函数为：
   $$N(A)=K+\frac{4M}{\pi A}$$
3. 非线性系统稳定性分析的描述函数法
   
   a.应用描述函数分析非线性系统的稳定性
   当系统可化为上图典型结构形式，非线性特性采用描述函数近似等效，闭环系统的特征方程为：
   $$1+N(A)G(j\omega )=0$$
   有：
   $$G(j\omega )=-\frac{1}{N(A)}$$
   $式中：-\frac{1}{N(A)}为非线性环节的负倒描述函数；$
   $在复平面上绘制{\Gamma }_G曲线和-\frac{1}{N(A)}曲线时，-\frac{1}{N(A)}曲线上箭头表示随着A增大，-\frac{1}{N(A)}的变换方向。$
   $$\begin{gathered} 非线性系统的稳定性判据： \\ 若{\Gamma }_G曲线不包围-\frac{1}{N(A)}曲线，则非线性系统稳定； \\ 若{\Gamma }_G曲线包围-\frac{1}{N(A)}曲线，则非线性系统不稳定。 \end{gathered}$$
   b.非线性系统存在周期运动时的稳定性分析
   $当{\Gamma }_G曲线和-\frac{1}{N(A)}曲线有交点时，下式成立：$
   $$G(j\omega )=-\frac{1}{N(A)}$$
   有如下关系：
   $$|G(j\omega )|=|\frac{1}{N(A)}|，\angle G(j\omega )=-\pi -\angle N(A)$$
   或者：
   $$Re[G(j\omega )N(A)]=-1，Im[G(j\omega )N(A)]=0$$
   上式可解得交点处的频率$\omega$和幅值$A$，系统处于周期运动时，非线性环节的输入近似为等幅振荡：
   $$x(t)=A\sin \omega t$$
   即每一个交点对应着一个周期运动，如果该周期运动能够维持，即在外界小扰动作用下使系统偏离该周期运动，而当该扰动消失后，系统的运动仍能恢复原周期运动，则称为稳定的周期运动。
   $$\begin{gathered} 周期运动分析小结： \\ 在复平面上将{\Gamma }_G曲线包围\frac{1}{N(A)}区域视为不稳定区域； \\ 在复平面上将{\Gamma }_G曲线不包围\frac{1}{N(A)}区域视为稳定区域。 \\ 周期运动稳定性判据： \\ 在{\Gamma }_G曲线和\frac{1}{N(A)}曲线的交点处，若\frac{1}{N(A)}曲线沿着振幅A增加的方向由不稳定区域进入稳定区域时，该交点对应的周期运动是稳定的； \\ 在{\Gamma }_G曲线和\frac{1}{N(A)}曲线的交点处，若\frac{1}{N(A)}曲线沿着振幅A增加的方向由稳定区域进入不稳定区域时，该交点对应的周期运动是不稳定的。 \end{gathered}$$

8.5 非线性控制系统设计

实例分析：带死区的仪表伺服机构控制。
实例背景和设计要求：带有弹簧轴的仪表伺服机构的结构如下图所示，试用描述函数法并应用matlab确定线性部分为下列传递函数时系统是否稳定？是否存在自振？若有，参数是多少？
a.系统1
$$G(s)=\frac{4000}{s(20s+1)(10s+1)}$$
b.系统2
$$G(s)=\frac{20}{s(10s+1)}$$

解：
a.死区非线性描述函数
$$N(A)=\frac{2}{\pi }[\frac{\pi }{2}-\arcsin \frac{1}{A}-\frac{1}{A}\sqrt{1-(\frac{1}{A}{)}^2}]，A\ge 1$$
b.稳定性分析基础
非线性系统闭环特征方程为：
$$G(j\omega )=-\frac{1}{N(A)}$$
在复平面上，下列结论成立：
$$\begin{gathered} 若G(j\omega )曲线{\Gamma }_G与负倒描述函数-1/N(A)曲线不相交， \\ 则当{\Gamma }_G曲线不包围-1/N(A)曲线时，非线性系统稳定； \\ 当{\Gamma }_G曲线包围-1/N(A)曲线时，非线性系统不稳定； \\ 若G(j\omega )曲线{\Gamma }_G与负倒描述函数-1/N(A)曲线存在交点， \\ 则在交点处，当-1/N(A)曲线沿振幅A的增加方向由不稳定区域进入稳定区域时， \\ 该交点对应的自振是稳定的； \\ 当-1/N(A)曲线沿振幅A的增加方向由稳定区域进入不稳定区域时， \\ 该交点对应的自振是不稳定的； \\ 自振振幅A由交点处-1/N(A)上振幅确定；自振频率{\omega }_0由交点处G(j\omega )上的频率确定。 \end{gathered}$$
c.matlab仿真代码
① 绘制系统的${\Gamma }_G曲线和-\frac{1}{N(A)}曲线$

%绘制Γ和-1/N(A)曲线
G1=tf([4000],[200 30 1 0]);
G2=tf([20],[10 1 0]);
A=1.0001:0.001:1000;
x=real(-1./((2*((pi./2)-asin(1./A)-(1./A).*sqrt(1-(1./A).^2)))/pi+j*0));
y=imag(-1./((2*((pi./2)-asin(1./A)-(1./A).*sqrt(1-(1./A).^2)))/pi+j*0));

%系统为G1时
figure(1)
w=0.001:0.001:1;
nyquist(G1,w);hold on
plot(x,y);hold off
axis([-60000 0 -40000 40000])

%系统为G2时
figure(2)
w=0.001:0.001:20;
nyquist(G2,w);hold on
plot(x,y);hold off
axis([-3 0 -0.1 0.1])

仿真结果如下：
$G(s)=\frac{4000}{s(20s+1)(10s+1)}时的{\Gamma }_G和-1/N(A)曲线$：

$G(s)=\frac{20}{s(10s+1)}时的{\Gamma }_G和-1/N(A)曲线$：

② 当初始条件$c(0)=2$时，绘制系统的零输入响应曲线

%当初始条件c(0)=2时，绘制系统的零输入响应曲线
%需调用下面sys1.m和sys2.m代码

t=0:0.01:8;
c01=[2 0 0]';
[t,c1]=ode45('sys1',t,c01);
figure(3)
plot(t,c1(:,1));grid

t=0:0.01:120;
c02=[2 0]';
[t,c2]=ode45('sys2',t,c02);
figure(4)
plot(t,c2(:,1));grid

%sys1和sys2函数m代码

%sys1.m
function dc=sys1(t,c)
dc1=c(2);
dc2=c(3);
if (c(1)>1)
    dc3=-0.15*c(3)-0.005*c(2)-20*c(1)+20;
elseif (abs(c(1))<1)
    dc3=-0.15*c(3)-0.005*c(2);
else
    dc3=-0.15*c(3)-0.005*c(2)-20*c(1)-20;
end
dc=[dc1 dc2 dc3]';

%sys2.m
%定义sys2函数，G(s)=20/s(10s+1)
function dc=sys2(t,c)
dc1=c(2);
if (c(1)>1)
    dc2=-0.1*c(2)-2*c(1)+2;
elseif (abs(c(1))<1)
    dc2=-0.1*c(2);
else
    dc2=-0.1*c(2)-2*c(1)-2;
end 
dc=[dc1 dc2]';

由仿真图分析可知：当传递函数为：
$$G(s)=\frac{4000}{s(20s+1)(10s+1)}$$
$仪表伺服系统存在不稳定自振，令ImG(j\omega )=0可得{\omega }_c=0.0707；由G(j{\omega }_c)=-\frac{1}{N(A_c)}得振幅A_c=1.001$。
当传递函数为：
$$G(s)=\frac{20}{s(10s+1)}$$
${\Gamma }_G曲线不包围-1/N(A)曲线，仪表伺服系统稳定。$