本博文基于自动控制原理习题解析(胡寿松第二版),解答经典习题,总结解题规律,便于同学们的复习,该篇属于自动控制原理的习题篇,以习题为驱动,不做只懂理论不懂解题的人,因作者也是在复习考研,也是刚毕业的大学生,总结的东西难免会有所纰漏,如发现,请在评论区提醒,望共同进步,考研成功上岸!
- 题目:设单位负反馈系统开环传递函数如下,试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
G ( s ) = K ∗ ( s + 5 ) s ( s + 2 ) ( s + 3 ) G(s)=\frac{K^*(s+5)}{s(s+2)(s+3)} G(s)=s(s+2)(s+3)K∗(s+5)
考点分析:考察根据根轨迹绘制法则,绘制系统的概略根轨迹图的技巧。
解:
系 统 的 开 环 传 递 函 数 为 : 系统的开环传递函数为: 系统的开环传递函数为:
G ( s ) = K ∗ ( s + 5 ) s ( s + 2 ) ( s + 3 ) G(s)=\frac{K^*(s+5)}{s(s+2)(s+3)} G(s)=s(s+2)(s+3)K∗(s+5)
a . 根 轨 迹 的 分 支 和 起 点 与 终 点 。 由 于 n = 3 , m = 1 , n − m = 2 , 故 根 轨 迹 有 三 条 分 支 , 其 起 点 分 别 为 p 1 = 0 , p 2 = − 2 , p 3 = − 3 , 其 终 点 分 别 为 z = − 5 和 无 穷 远 处 。 a.根轨迹的分支和起点与终点。由于n=3,m=1,n-m=2,\\故根轨迹有三条分支,其起点分别为p_1=0,p_2=-2,p_3=-3,其终点分别为z=-5和无穷远处。 a.根轨迹的分支和起点与终点。由于n=3,m=1,n−m=2,故根轨迹有三条分支,其起点分别为p1=0,p2=−2,p3=−3,其终点分别为z=−5和无穷远处。
b . 实 轴 上 的 根 轨 迹 。 实 轴 上 的 根 轨 迹 分 布 区 为 [ 0 , − 2 ] , [ − 3 , − 5 ] 。 b.实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹分布区为[0,-2],[-3,-5]。 b.实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹分布区为[0,−2],[−3,−5]。
c . 根 轨 迹 的 渐 近 线 。 c.根轨迹的渐近线。 c.根轨迹的渐近线。
σ a = − 2 − 3 + 5 3 = 0 , φ a = ± π 2 \sigma_a=\frac{-2-3+5}{3}=0,\varphi_a=±\frac{\pi}{2} σa=3−2−3+5=0,φa=±2π
d . 根 轨 迹 的 分 离 点 。 根 轨 迹 的 分 离 点 坐 标 满 足 : d.根轨迹的分离点。根轨迹的分离点坐标满足: d.根轨迹的分离点。根轨迹的分离点坐标满足:
1 d + 1 d + 2 + 1 d + 3 = 1 d + 5 \frac{1}{d}+\frac{1}{d+2}+\frac{1}{d+3}=\frac{1}{d+5} d1+d+21+d+31=d+51
试 凑 法 可 得 d ≈ − 0.89 。 试凑法可得d≈-0.89。 试凑法可得d≈−0.89。
- 题目:设已知单位反馈控制系统的开环传递函数,
G ( s ) = K ∗ s ( s + 1 ) ( s + 3.5 ) ( s + 3 + j 2 ) ( s + 3 − j 2 ) G(s)=\frac{K^*}{s(s+1)(s+3.5)(s+3+j2)(s+3-j2)} G(s)=s(s+1)(s+3.5)(s+3+j2)(s+3−j2)K∗
要求:概略绘制G(s)的闭环根轨迹图(要求确定根轨迹的分离点、起始角和与虚轴的交点)。
考点分析:考察闭环根轨迹图的绘制,以及求解闭环根轨迹与虚轴的交点。
解:
G ( s ) = K ∗ s ( s + 1 ) ( s + 3.5 ) ( s + 3 + j 2 ) ( s + 3 − j 2 ) G(s)=\frac{K^*}{s(s+1)(s+3.5)(s+3+j2)(s+3-j2)} G(s)=s(s+1)(s+3.5)(s+3+j2)(s+3−j2)K∗
a . 根 轨 迹 的 分 支 和 起 点 与 终 点 。 由 于 n = 5 , m = 0 , n − m = 5 , 故 根 轨 迹 有 五 条 分 支 , 其 起 点 分 别 为 : p 1 = 0 , p 2 = − 1 , p 3 = − 3.5 , p 4 = − 3 − j 2 , p 5 = − 3 + j 2 , 其 终 点 分 别 都 是 无 穷 远 处 。 a.根轨迹的分支和起点与终点。由于n=5,m=0,n-m=5,故根轨迹有五条分支,\\其起点分别为:p_1=0,p_2=-1,p_3=-3.5,p_4=-3-j2,p_5=-3+j2,\\其终点分别都是无穷远处。 a.根轨迹的分支和起点与终点。由于n=5,m=0,n−m=5,故根轨迹有五条分支,其起点分别为:p1=0,p2=−1,p3=−3.5,p4=−3−j2,p5=−3+j2,其终点分别都是无穷远处。
b . 实 轴 上 的 根 轨 迹 。 实 轴 上 的 根 轨 迹 分 布 区 为 : [ 0 , − 1 ] , [ − 3.5 , − ∞ ] 。 b.实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹分布区为:[0,-1],[-3.5,-\infty]。 b.实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹分布区为:[0,−1],[−3.5,−∞]。
c . 根 轨 迹 的 渐 近 线 。 c.根轨迹的渐近线。 c.根轨迹的渐近线。
σ a = − 1 − 3.5 − 3 − j 2 − 3 + j 2 5 − 0 = − 2.1 , φ a = ± π 5 , ± 3 π 5 , π \sigma_a=\frac{-1-3.5-3-j2-3+j2}{5-0}=-2.1,\varphi_a=±\frac{\pi}{5},±\frac{3\pi}{5},\pi σa=5−0−1−3.5−3−j2−3+j2=−2.1,φa=±5π,±53π,π
d . 根 轨 迹 的 分 离 点 。 根 轨 迹 的 分 离 点 坐 标 满 足 : d.根轨迹的分离点。根轨迹的分离点坐标满足: d.根轨迹的分离点。根轨迹的分离点坐标满足:
1 d + 1 d + 1 + 1 d + 3.5 + 1 d + 3 + j 2 + 1 d + 3 − j 2 = 0 \frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+3.5}+\frac{1}{d+3+j2}+\frac{1}{d+3-j2}=0 d1+d+11+d+3.51+d+3+j21+d+3−j21=0
试 凑 法 可 得 : d ≈ − 0.4 试凑法可得:d≈-0.4 试凑法可得:d≈−0.4。
e . 根 轨 迹 与 虚 轴 的 交 点 。 由 系 统 的 开 环 传 递 函 数 可 知 系 统 的 闭 环 特 征 方 程 为 : e.根轨迹与虚轴的交点。由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程为: e.根轨迹与虚轴的交点。由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程为:
D ( s ) = s ( s + 1 ) ( s + 3.5 ) ( s + 3 + j 2 ) ( s + 3 − j 2 ) + K ∗ = s 5 + 10.5 s 4 + 43.5 s 3 + 79.5 s 2 + 45.5 s + K ∗ = 0 D(s)=s(s+1)(s+3.5)(s+3+j2)(s+3-j2)+K^*=s^5+10.5s^4+43.5s^3+79.5s^2+45.5s+K^*=0 D(s)=s(s+1)(s+3.5)(s+3+j2)(s+3−j2)+K∗=s5+10.5s4+43.5s3+79.5s2+45.5s+K∗=0
令 s = j ω , 将 其 代 入 上 式 , 可 得 : 令s=j\omega,将其代入上式,可得: 令s=jω,将其代入上式,可得:
( j ω ) 5 + 10.5 ( j ω ) 4 + 43.5 ( j ω ) 3 + 79.5 ( j ω ) 2 + 45.5 ( j ω ) + K ∗ = 0 (j\omega)^5+10.5(j\omega)^4+43.5(j\omega)^3+79.5(j\omega)^2+45.5(j\omega)+K^*=0 (jω)5+10.5(jω)4+43.5(jω)3+79.5(jω)2+45.5(jω)+K∗=0
即 即 即
{ 10.5 ω 4 − 79.5 ω 2 + K ∗ = 0 ω 5 − 43.5 ω 3 + 45.5 ω = 0 \begin{cases} 10.5\omega^4-79.5\omega^2+K^*=0\\ \\ \omega^5-43.5\omega^3+45.5\omega=0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧10.5ω4−79.5ω2+K∗=0ω5−43.5ω3+45.5ω=0
由 于 ω ≠ 0 , 故 可 解 得 ω = ± 1.034 或 ω = ± 6.51 。 其 中 , ω = ± 6.51 属 于 伪 解 , 故 舍 去 。 由于\omega≠0,故可解得\omega=±1.034或\omega=±6.51。其中,\omega=±6.51属于伪解,故舍去。 由于ω=0,故可解得ω=±1.034或ω=±6.51。其中,ω=±6.51属于伪解,故舍去。
因 此 , K ∗ = 73.04 。 因此,K^*=73.04。 因此,K∗=73.04。
f . 根 轨 迹 的 起 始 角 。 f.根轨迹的起始角。 f.根轨迹的起始角。
θ p 5 = 540 ° − θ p 1 p 5 − θ p 2 p 5 − θ p 3 p 5 − θ p 4 p 5 = 540 ° − ( 90 ° + arctan 1.5 ) − 135 ° − arctan 4 − 90 ° = 92.73 ° \theta_{p_5}=540°-\theta_{p_1p_5}-\theta_{p_2p_5}-\theta_{p_3p_5}-\theta_{p_4p_5}=540°-(90°+\arctan1.5)-135°-\arctan4-90°=92.73° θp5=540°−θp1p5−θp2p5−θp3p5−θp4p5=540°−(90°+arctan1.5)−135°−arctan4−90°=92.73°
θ p 4 = − 92.73 ° \theta_{p_4}=-92.73° θp4=−92.73°
根 轨 迹 如 下 图 : 根轨迹如下图: 根轨迹如下图:
- 题目:设单位反馈系统的开环传递函数为:
G ( s ) = K ∗ ( s + 2 ) s ( s + 1 ) G(s)=\frac{K^*(s+2)}{s(s+1)} G(s)=s(s+1)K∗(s+2)
试从数学上证明:复数根轨迹部分是以 ( − 2 , j 0 ) (-2,j0) (−2,j0)为圆心、以 2 \sqrt{2} 2为半径的一个圆。
考点分析:证明根轨迹为圆。
解:
由 系 统 的 开 环 传 递 函 数 可 知 , 该 系 统 的 闭 环 特 征 方 程 为 : 由系统的开环传递函数可知,该系统的闭环特征方程为: 由系统的开环传递函数可知,该系统的闭环特征方程为:
D ( s ) = K ∗ ( s + 2 ) + s ( s + 1 ) = s 2 + ( K ∗ + 1 ) s + 2 K ∗ = 0 D(s)=K^*(s+2)+s(s+1)=s^2+(K^*+1)s+2K^*=0 D(s)=K∗(s+2)+s(s+1)=s2+(K∗+1)s+2K∗=0
解 得 : 解得: 解得:
s 1 , 2 = − 1 2 ( K ∗ + 1 ) ± j 2 8 K ∗ − ( K ∗ + 1 ) 2 s_{1,2}=-\frac{1}{2}(K^*+1)±\frac{j}{2}\sqrt{8K^*-(K^*+1)^2} s1,2=−21(K∗+1)±2j8K∗−(K∗+1)2
令 令 令
x = − 1 2 ( K ∗ + 1 ) , y = 1 2 8 K ∗ − ( K ∗ + 1 ) 2 x=-\frac{1}{2}(K^*+1),y=\frac{1}{2}\sqrt{8K^*-(K^*+1)^2} x=−21(K∗+1),y=218K∗−(K∗+1)2
则 由 x = − 1 2 ( K ∗ + 1 ) 可 得 K ∗ = − 2 x − 1 , 将 其 代 入 y 的 表 达 式 , 有 则由x=-\frac{1}{2}(K^*+1)可得K^*=-2x-1,将其代入y的表达式,有 则由x=−21(K∗+1)可得K∗=−2x−1,将其代入y的表达式,有
( x + 2 ) 2 + y 2 = 2 (x+2)^2+y^2=2 (x+2)2+y2=2
证 得 复 数 根 轨 迹 部 分 是 以 ( − 2 , j 0 ) 为 圆 心 、 以 2 为 半 径 的 一 个 圆 。 证得复数根轨迹部分是以(-2,j0)为圆心、以\sqrt{2}为半径的一个圆。 证得复数根轨迹部分是以(−2,j0)为圆心、以2为半径的一个圆。
- 题目:试绘出下面多项式方程的根轨迹:
s 3 + 3 s 2 + ( K + 2 ) s + 10 = 0 s^3+3s^2+(K+2)s+10=0 s3+3s2+(K+2)s+10=0
考点分析:研究参数根轨迹的绘制方法。
解:
由 题 可 得 : 由题可得: 由题可得:
D ( s ) = s 3 + 3 s 2 + ( K + 2 ) s + 10 = s 3 + 3 s 2 + 2 s + K ( s + 10 ) = 0 D(s)=s^3+3s^2+(K+2)s+10=s^3+3s^2+2s+K(s+10)=0 D(s)=s3+3s2+(K+2)s+10=s3+3s2+2s+K(s+10)=0
上 式 可 等 价 表 示 为 : 上式可等价表示为: 上式可等价表示为:
1 + G ( s ) = 0 1+G(s)=0 1+G(s)=0
其 中 等 效 开 环 传 递 函 数 为 : 其中等效开环传递函数为: 其中等效开环传递函数为:
G ( s ) = K ( s + 10 ) s 3 + 3 s 2 + 2 s = K ( s + 10 ) s ( s + 1 ) ( s + 2 ) G(s)=\frac{K(s+10)}{s^3+3s^2+2s}=\frac{K(s+10)}{s(s+1)(s+2)} G(s)=s3+3s2+2sK(s+10)=s(s+1)(s+2)K(s+10)
a . 根 轨 迹 的 分 支 和 起 点 与 终 点 。 由 于 n = 3 , m = 1 , n − m = 2 , 故 根 轨 迹 有 三 条 分 支 , 其 起 点 为 : p 1 = 0 , p 2 = − 1 , p 2 = − 2 , 其 终 点 分 别 为 : z 1 = − 10 和 无 穷 远 处 ; a.根轨迹的分支和起点与终点。由于n=3,m=1,n-m=2,故根轨迹有三条分支,\\其起点为:p_1=0,p_2=-1,p_2=-2,其终点分别为:z_1=-10和无穷远处; a.根轨迹的分支和起点与终点。由于n=3,m=1,n−m=2,故根轨迹有三条分支,其起点为:p1=0,p2=−1,p2=−2,其终点分别为:z1=−10和无穷远处;
b . 实 轴 上 的 根 轨 迹 。 实 轴 上 的 根 轨 迹 分 布 区 为 : [ 0 , − 1 ] , [ − 2 , − 10 ] ; b.实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹分布区为:[0,-1],[-2,-10]; b.实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹分布区为:[0,−1],[−2,−10];
c . 根 轨 迹 的 渐 近 线 。 c.根轨迹的渐近线。 c.根轨迹的渐近线。
σ a = − 1 − 2 + 10 3 − 1 = 3.5 , φ a = ± π 2 \sigma_a=\frac{-1-2+10}{3-1}=3.5,\varphi_a=±\frac{\pi}{2} σa=3−1−1−2+10=3.5,φa=±2π
d . 根 轨 迹 的 分 离 点 。 根 轨 迹 的 分 离 点 坐 标 满 足 : d.根轨迹的分离点。根轨迹的分离点坐标满足: d.根轨迹的分离点。根轨迹的分离点坐标满足:
1 d + 1 d + 1 + 1 d + 2 = 1 d + 10 \frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+2}=\frac{1}{d+10} d1+d+11+d+21=d+101
解 得 : d ≈ − 0.433 解得:d≈-0.433 解得:d≈−0.433
e . 根 轨 迹 与 虚 轴 的 交 点 。 系 统 的 闭 环 特 征 方 程 为 : e.根轨迹与虚轴的交点。系统的闭环特征方程为: e.根轨迹与虚轴的交点。系统的闭环特征方程为:
D ( s ) = s 3 + 3 s 2 + 2 s + K ( s + 10 ) = 0 D(s)=s^3+3s^2+2s+K(s+10)=0 D(s)=s3+3s2+2s+K(s+10)=0
令 s = j ω , 并 将 其 代 入 D ( s ) 可 得 : 令s=j\omega,并将其代入D(s)可得: 令s=jω,并将其代入D(s)可得:
( j ω ) 3 + 3 ( j ω ) 2 + 2 ( j ω ) + K [ ( j ω ) + 10 ] = 0 (j\omega)^3+3(j\omega)^2+2(j\omega)+K[(j\omega)+10]=0 (jω)3+3(jω)2+2(jω)+K[(jω)+10]=0
即 即 即
{ − 3 ω 2 + 10 K = 0 − ω 3 + 2 ω + K ω = 0 \begin{cases} -3\omega^2+10K=0\\ \\ -\omega^3+2\omega+K\omega=0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧−3ω2+10K=0−ω3+2ω+Kω=0
因 ω ≠ 0 , 解 得 交 点 处 坐 标 : 因\omega≠0,解得交点处坐标: 因ω=0,解得交点处坐标:
ω = ± 1.69 , K = 6 7 = 0.86 \omega=±1.69,K=\frac{6}{7}=0.86 ω=±1.69,K=76=0.86
则 根 轨 迹 与 虚 轴 的 交 点 坐 标 为 ± j 1.69 。 则根轨迹与虚轴的交点坐标为±j1.69。 则根轨迹与虚轴的交点坐标为±j1.69。
- 题目:设控制系统开环传递函数为:
G ( s ) = K ∗ ( s + 1 ) s 2 ( s + 2 ) ( s + 4 ) G(s)=\frac{K^*(s+1)}{s^2(s+2)(s+4)} G(s)=s2(s+2)(s+4)K∗(s+1)
试分别画出正反馈和负反馈系统的根轨迹图,并指出它们的稳定情况有何不同。
考点分析:研究常规根轨迹和零度根轨迹的绘制和分析(全根轨迹)。
解:
( 1 ) 负 反 馈 系 统 的 根 轨 迹 。 (1)负反馈系统的根轨迹。 (1)负反馈系统的根轨迹。
a . 根 轨 迹 的 分 支 和 起 点 与 终 点 。 由 于 n = 4 , m = 1 , n − m = 3 , 故 根 轨 迹 有 四 条 分 支 ; 其 起 点 分 别 为 p 1 , 2 = 0 , p 3 = − 3 , p 4 = − 4 , 其 终 点 分 别 为 z 1 = − 1 和 无 穷 远 处 ; a.根轨迹的分支和起点与终点。由于n=4,m=1,n-m=3,故根轨迹有四条分支;\\其起点分别为p_{1,2}=0,p_3=-3,p_4=-4,其终点分别为z_1=-1和无穷远处; a.根轨迹的分支和起点与终点。由于n=4,m=1,n−m=3,故根轨迹有四条分支;其起点分别为p1,2=0,p3=−3,p4=−4,其终点分别为z1=−1和无穷远处;
b . 实 轴 上 的 根 轨 迹 。 实 轴 上 的 根 轨 迹 分 布 区 为 [ − 4 , − ∞ ) , [ − 2 , − 1 ] ; b.实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹分布区为[-4,-\infty),[-2,-1]; b.实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹分布区为[−4,−∞),[−2,−1];
c . 根 轨 迹 的 渐 近 线 。 c.根轨迹的渐近线。 c.根轨迹的渐近线。
σ a = − 2 − 4 + 1 4 − 1 = − 1.67 , φ a = ± π 3 , π \sigma_a=\frac{-2-4+1}{4-1}=-1.67,\varphi_a=±\frac{\pi}{3},\pi σa=4−1−2−4+1=−1.67,φa=±3π,π
d . 根 轨 迹 与 虚 轴 的 交 点 。 系 统 的 闭 环 特 征 方 程 为 : d.根轨迹与虚轴的交点。系统的闭环特征方程为: d.根轨迹与虚轴的交点。系统的闭环特征方程为:
D ( s ) = s 4 + 6 s 3 + 8 s 2 + K ∗ s + K ∗ = 0 D(s)=s^4+6s^3+8s^2+K^*s+K^*=0 D(s)=s4+6s3+8s2+K∗s+K∗=0
令 s = j ω , 代 入 特 征 方 程 可 得 : 令s=j\omega,代入特征方程可得: 令s=jω,代入特征方程可得:
( j ω ) 4 + 6 ( j ω ) 3 + 8 ( j ω ) 2 + K ∗ ( j ω ) + K ∗ = 0 (j\omega)^4+6(j\omega)^3+8(j\omega)^2+K^*(j\omega)+K^*=0 (jω)4+6(jω)3+8(jω)2+K∗(jω)+K∗=0
{ ω 4 − 8 ω 2 + K ∗ = 0 − 6 ω 3 + K ∗ ω = 0 \begin{cases} \omega^4-8\omega^2+K^*=0\\ \\ -6\omega^3+K^*\omega=0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ω4−8ω2+K∗=0−6ω3+K∗ω=0
因 ω ≠ 0 , 解 得 交 点 处 坐 标 : 因\omega≠0,解得交点处坐标: 因ω=0,解得交点处坐标:
ω = ± 2 , K ∗ = 12 \omega=±\sqrt{2},K^*=12 ω=±2,K∗=12
由 根 轨 迹 图 可 知 , 当 0 < K ∗ < 12 时 , 系 统 稳 定 。 由根轨迹图可知,当0<K^*<12时,系统稳定。 由根轨迹图可知,当0<K∗<12时,系统稳定。
( 2 ) 正 反 馈 系 统 的 根 轨 迹 。 (2)正反馈系统的根轨迹。 (2)正反馈系统的根轨迹。
a . 根 轨 迹 的 分 支 和 起 点 与 终 点 。 由 于 n = 4 , m = 1 , n − m = 3 , 故 根 轨 迹 有 四 条 分 支 ; 其 起 点 分 别 为 p 1 , 2 = 0 , p 3 = − 3 , p 4 = − 4 , 其 终 点 分 别 为 z 1 = − 1 和 无 穷 远 处 ; a.根轨迹的分支和起点与终点。由于n=4,m=1,n-m=3,故根轨迹有四条分支;\\其起点分别为p_{1,2}=0,p_3=-3,p_4=-4,其终点分别为z_1=-1和无穷远处; a.根轨迹的分支和起点与终点。由于n=4,m=1,n−m=3,故根轨迹有四条分支;其起点分别为p1,2=0,p3=−3,p4=−4,其终点分别为z1=−1和无穷远处;
b . 实 轴 上 的 根 轨 迹 。 实 轴 上 的 根 轨 迹 分 布 区 为 [ − 4 , − 2 ] , [ − 1 , ∞ ) ; b.实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹分布区为[-4,-2],[-1,\infty); b.实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹分布区为[−4,−2],[−1,∞);
c . 根 轨 迹 的 渐 近 线 。 c.根轨迹的渐近线。 c.根轨迹的渐近线。
σ a = − 2 − 4 + 1 4 − 1 = − 1.67 , φ a = ± 2 π 3 , 0 \sigma_a=\frac{-2-4+1}{4-1}=-1.67,\varphi_a=±\frac{2\pi}{3},0 σa=4−1−2−4+1=−1.67,φa=±32π,0
d . 根 轨 迹 的 分 离 点 。 根 轨 迹 的 分 离 点 坐 标 满 足 : d.根轨迹的分离点。根轨迹的分离点坐标满足: d.根轨迹的分离点。根轨迹的分离点坐标满足:
2 d + 1 d + 2 + 1 d + 4 = 1 d + 1 \frac{2}{d}+\frac{1}{d+2}+\frac{1}{d+4}=\frac{1}{d+1} d2+d+21+d+41=d+11
解 得 : d ≈ − 3.08 解得:d≈-3.08 解得:d≈−3.08
由 根 轨 迹 图 可 知 , 当 k ∗ > 0 时 , 系 统 恒 不 稳 定 。 由根轨迹图可知,当k^*>0时,系统恒不稳定。 由根轨迹图可知,当k∗>0时,系统恒不稳定。
- 题目:设控制系统开环传递函数为:
G ( s ) = K ∗ ( s + 20 ) s ( s 2 + 24 s + 144 ) G(s)=\frac{K^*(s+20)}{s(s^2+24s+144)} G(s)=s(s2+24s+144)K∗(s+20)
试画出 K ∗ K^* K∗值增大时的系统概略根轨迹图,并求出使系统产生振荡的 K ∗ K^* K∗的取值范围。
考点分析:由根轨迹图求参数范围,幅值条件的应用。
解:
由 开 环 传 递 函 数 由开环传递函数 由开环传递函数
G ( s ) = K ∗ ( s + 20 ) s ( s 2 + 24 s + 144 ) G(s)=\frac{K^*(s+20)}{s(s^2+24s+144)} G(s)=s(s2+24s+144)K∗(s+20)
令 K ∗ 从 0 → ∞ , 可 画 出 系 统 概 略 根 轨 迹 如 下 图 , 可 求 : 令K^*从0→\infty,可画出系统概略根轨迹如下图,可求: 令K∗从0→∞,可画出系统概略根轨迹如下图,可求:
渐 近 线 : σ a = − 2 , φ a = ± 90 ° 渐近线:\sigma_a=-2,\varphi_a=±90° 渐近线:σa=−2,φa=±90°
分 离 点 : 1 d + 2 d + 12 = 1 d + 20 , d = − 4.75 分离点:\frac{1}{d}+\frac{2}{d+12}=\frac{1}{d+20},d=-4.75 分离点:d1+d+122=d+201,d=−4.75
应 用 模 值 条 件 , 可 得 分 离 点 处 的 根 轨 迹 增 益 为 : 应用模值条件,可得分离点处的根轨迹增益为: 应用模值条件,可得分离点处的根轨迹增益为:
K d ∗ = ∏ i = 1 3 ∣ d − p i ∣ ∣ d − z ∣ = 4.75 × 7.2 5 2 15.25 = 16.37 K^*_d=\frac{\prod_{i=1}^3 |d-p_i|}{|d-z|}=\frac{4.75\times7.25^2}{15.25}=16.37 Kd∗=∣d−z∣∏i=13∣d−pi∣=15.254.75×7.252=16.37
因 此 , 当 K ∗ > 16.37 时 , 系 统 输 出 将 产 生 振 荡 。 因此,当K^*>16.37时,系统输出将产生振荡。 因此,当K∗>16.37时,系统输出将产生振荡。