【自动控制原理】自动控制原理笔记（1）：控制系统的一般模型

本篇为自动控制原理笔记（1）：控制系统的一般模型~

1. 控制系统的一般模型模型

1.1 概论

自动控制：不需要人的直接参与而能控制某些物理量按照指定的规律变化。
开环控制：信号由给定值至被控量单向传递。
闭环控制：信号沿前向通道和反馈通道往复循环。
对控制系统的性能要求：理论上被控量和给定值在任何时刻其变化规律都相等。
通常把系统受外加信号（给定值或扰动）作用后，被控量随时间变化的全过程称为系统的动态过程 （过渡过程）。控制性能由动态过程表示。
系统的数学模型: 描述系统输入输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。

1.2 拉普拉斯变换与微分方程

积分定理

$L[\int f(t)dt] = \frac{F(S)}{S} + \frac{f^{-1}(0)}{S}\\L[\int ... \int f(t)dt...dt] =\frac{F(S)}{S^n}+\sum \frac{f^{-i}(0)}{S^{n-i+1}}\\f^{-1}(0) = \int f(t)dt |_{t=0}$

微分定理

$L[\frac{df(t)}{dt}] = SF(S) - f(0)\\L[\frac{d^{n}f(t)}{dt^n}] = S^nF(S)- \sum S^{(n-i)}f^{(i-1)}(0)$

终值定理

$f(\infty) = \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s\to 0}SF(S)$

传递函数：线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

$G(S) = \frac{U_c(S)}{U_r(S)}$

$G(S)$ 取决于系统的结构与参数，与输入量的形式和大小无关。
对象的传递函数虽然结构、参数一样，但输入输出的物理量不同，则代表的物理意义不同。
传递函数分子多项式等于的根为零点。传递函数分母多项式（特征方程）等于零的根为极点。

1.3 动态结构图

组成：信号线（有方向性）、分支点（各处相等）、相加点（有加减号）、方框（传递函数） 。

动态结构图

串联方框的等效： $G(S)=G_1(S)G_2(S)$ ，并联方框的等效： $G(S)=G_1(S)+G_2(S)$ 。方框反馈连接的等效： $\varphi(S) = \frac{G(S)}{1-G(S)H(S)}$ 。
相加点移动规则 ：前向通道传递函数的乘积保持不变。分支点移动规则 ：前向通道传递函数的乘积保持不变。

1.4 传递函数

传递函数图

系统的开环传递函数： $G_K(S)=G_1(S)G_2(S)H(S)$ 。
$r(t)$ 作用下系统的闭环传递函数：

$\varphi(S) = \frac{C_R(S)}{R(S)}=\frac{G_1(S)G_2(S)}{1+G_1(S)G_2(S)H(S)}$

$n(t)$ 作用下系统的闭环传递函数

$\varphi_N(S) = \frac{C_N(S)}{N(S)}=\frac{G_2(S)}{1+G_1(S)G_2(S)H(S)}$

系统的总输出：

$C(S) = C_R(S) + C_N(S)=\frac{G_1(S)G_2(S)R(S)}{1+G_1(S)G_2(S)H(S)}+\frac{G_2(S)N(S)}{1+G_1(S)G_2(S)H(S)}$

闭环系统的误差传递函数：系统误差 $E(S)=R(S)-B(S)$ 。
$R(t)$ 作用下系统的误差传递函数，令 $n(t)= 0$

$\Phi_r(S) = \frac{E_r(S)}{R(S)}=\frac{1}{1+G_1(S)G_2(S)H(S)}$

$n(t)$ 作用下系统的误差传递函数，令 $r(t)=0$

$\Phi_n(S) = \frac{E_n(S)}{N(S)}=\frac{-G_2(S)H(S)}{1+G_1(S)G_2(S)H(S)}$

系统的总误差为

$E(S)=\frac{R(S) - G_2(S)H(S)N(S)}{1+G_1(S)G_2(S)H(S)}$

反馈系统的优点：系统的输出只取决于反馈通路的传递函数及输入信号，而与前向通路的传递函数几乎无关。
系统的输出与干扰信号 $N(S)$ 无关，具有很强的抑制干扰的能力 。系统的总误差很小，具有较高的控制精度 。