自动控制原理5.5---闭环系统的频域性能指标

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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5.闭环系统的频域性能指标

5.1 控制系统的频带宽度

设$\Phi (j\omega )$为系统闭环频率特性，当闭环幅频特性下降到频率为零时的分贝值以下3分贝，即$0.707|\Phi (j0)|(dB)$时，对应的频率称为带宽频率，即当$\omega >{\omega }_b$时，
$$20\lg |\Phi (j\omega )|<20\lg |\Phi (j0)|-3\text{\hspace{1em}(1)}$$
频率范围$(0,{\omega }_b)$称为系统的带宽；

设一阶系统的闭环传递函数为：
$$\Phi (s)=\frac{1}{Ts+1}\text{\hspace{1em}(2)}$$
因为开环系统为Ⅰ型，$\Phi (j0)=1$，按带宽定义：
$$20\lg |\Phi (j{\omega }_b)|=20\lg \frac{1}{\sqrt{1+T^2{\omega }_b^2}}=20\lg \frac{1}{\sqrt{2}}$$
则一阶系统带宽频率为：
$${\omega }_b=\frac{1}{T}\text{\hspace{1em}(3)}$$
设二阶系统的闭环传递函数为：
$$\Phi (s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$
系统幅频特性：
$$|\Phi (j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{{\left(1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}\right)}^2+4{\zeta }^2\frac{{\omega }^2}{{\omega }_n^2}}}$$
由带宽定义可得：
$$\sqrt{{\left(1-\frac{{\omega }_b^2}{{\omega }_n^2}\right)}^2+4{\zeta }^2\frac{{\omega }_b^2}{{\omega }_n^2}}=\sqrt{2}$$
可得二阶系统带宽频率：
$${\omega }_b={\omega }_n{\left[(1-2{\zeta }^2)+\sqrt{(1-2{\zeta }^2{)}^2+1}\right]}^{\frac{1}{2}}\text{\hspace{1em}(4)}$$

• 一阶系统的带宽频率和时间常数成反比；
• 二阶系统的带宽频率和自然频率${\omega }_n$成正比；
• 对于输入端信号，带宽大，则跟踪控制信号的能力强；抑制输入端高频干扰能力则弱；

5.2 闭环系统频域指标和时域指标的转换

1. 系统闭环和开环频域指标的关系

   系统开环指标截止频率${\omega }_c$与闭环指标带宽频率${\omega }_b$有密切的关系；如果两个系统的稳定程度相仿，则${\omega }_c$大的系统，${\omega }_b$也大；${\omega }_c$小的系统，${\omega }_b$也小；
   $$M_r=M({\omega }_r)=\frac{1}{|\sin \gamma ({\omega }_r)|}\approx \frac{1}{|\sin \gamma |}\text{\hspace{1em}(5)}$$
   控制系统的设计中，一般先根据控制要求提出闭环频域指标${\omega }_b、M_r$，再由上式确定相角裕度$\gamma$和选择合适的截止频率${\omega }_c$，然后根据$\gamma 、{\omega }_c$选择校正网络的结构并确定参数；

2. 开环频域指标和时域指标的关系

   典型二阶系统的开环频率特性：
   $$G(j\omega )=\frac{{\omega }_n^2}{j\omega (j\omega +2\zeta {\omega }_n)}=\frac{{\omega }_n^2}{\omega \sqrt{{\omega }^2+4{\zeta }^2{\omega }_n^2}}\angle \left(-90°-\arctan \frac{\omega }{2\zeta {\omega }_n}\right)$$
   可得：
   $$\frac{{\omega }_c}{{\omega }_n}=\sqrt{\sqrt{4{\zeta }^4+1}-2{\zeta }^2}\text{\hspace{1em}(6)}$$
   相角裕度：
   $$\gamma =\arctan \left[2\zeta (\sqrt{4{\zeta }^4+1}-2{\zeta }^2{)}^{-\frac{1}{2}}\right]\text{\hspace{1em}(7)}$$
   实例分析：

   Example1： 设单位反馈系统的开环传递函数为
   $$G(s)=\frac{K}{s(Ts+1)}$$
   若已知单位速度信号输入下的稳态误差$e_{ss}(\infty )=1/9$，相角裕度$\gamma =60°$，试确定系统时域指标$\sigma \%、t_s$；

   解：

   已知系统为Ⅰ型系统，在单位速度输入下的稳态误差为$1/K$，则$K=9$；

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   由$\gamma =60°$可求$\zeta =0.62$，超调量为：
   $$\sigma \%=e^{-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}}\times 100\%=7.5\%$$
   因：
   $$K/T={\omega }_n^2，1/T=2\zeta {\omega }_n$$
   得：
   $${\omega }_n=2K\zeta =11.16$$
   调节时间：
   $$t_s=\frac{3.5}{\zeta {\omega }_n}=0.506，(\Delta =5\%)$$

3. 高阶系统的时域指标估算

   对于具有一对共轭复数闭环极点的线性定常高阶系统，阶跃动态响应与频率响应之间存在以下关系：

   • $M_r$值表征了相对稳定性；如果$M_r$的值在$1.0<M_r<1.4(0dB<M_r(dB)<3dB)$范围内，相当于阻尼比$\zeta$在$0.4<\zeta <0.7$范围内，则通常可以获得满意的动态性能；
   • 谐振频率${\omega }_r$的大小表征了动态响应的速度；${\omega }_r$的值越大，时间响应越快；
   • 对于弱阻尼系统，谐振频率${\omega }_r$与阶跃动态响应中的阻尼自然频率${\omega }_d$很接近；

   两个近似估算公式：
   $$\sigma =0.16+0.4\left(\frac{1}{\sin \gamma }-1\right)，35°\le \gamma \le 90°\text{\hspace{1em}(8)}$$

   $$t_s=\frac{K_0\pi }{{\omega }_c}\text{\hspace{1em}(9)}$$

   其中：
   $$K_0=2+1.5\left(\frac{1}{\sin \gamma }-1\right)+2.5{\left(\frac{1}{\sin \gamma }-1\right)}^2，35°\le \gamma \le 90°\text{\hspace{1em}(10)}$$