自动控制原理7.6---离散系统的动态性能分析

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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6.离散系统的动态性能分析

6.1 离散系统的时间响应

实例分析：

Example1： 设有零阶保持器的离散系统如下图所示，其中$r(t)=1(t),T=1s,K=1$，分析该系统的动态性能。

解：

开环脉冲传递函数$G(z)$，因为：
$$G(s)=\frac{1}{s^2(s+1)}(1-e^{-s})$$
对上式进行$z$变换，可得：
$$G(z)=(1-z^{-1})Z\left[\frac{1}{s^2(s+1)}\right]$$
可得：
$$G(z)=\frac{0.368z+0.264}{(z-1)(z-0.368)}$$
闭环脉冲传递函数为：
$$\Phi (z)=\frac{G(z)}{1+G(z)}=\frac{0.368z+0.264}{z^2-z+0.632}$$
输入的$z$变换：
$$R(z)=\frac{z}{z-1}$$
单位阶跃序列响应的$z$变换为：
$$C(z)=\Phi (z)R(z)=\frac{0.368z^{-1}+0.264z^{-2}}{1-2z^{-1}+1.632z^{-2}-0.632z^{-3}}$$
用综合除法，将$C(z)$展成无穷级数：
$$C(z)=0.368z^{-1}+z^{-2}+1.4z^{-3}+1.4z^{-4}+1.147z^{-5}+0.895z^{-6}+0.802z^{-7}+0.868z^{-8}+\cdots +$$
可得系统在单位阶跃作用下的输出序列$c(nT)$为：
$$c(0)=0.0,c(T)=0.368,c(2T)=1.0,c(3T)=1.4,c(4T)=1.4,c(5T)=1.147$$

$$c(6T)=0.895,c(7T)=0.802,c(8T)=0.868,c(9T)=0.993,c(10T)=1.077,c(11T)=1.081$$

$$c(12T)=1.032,c(13T)=0.981,c(14T)=0.961,c(15T)=0.973,c(16T)=0.997,c(17T)=1.015$$

6.2 采样器和保持器对系统性能的影响

实例分析：

Example2： 系统如下图所示(是实例1的图)，其中$r(t)=1(t),T=0.2s,K=1$，分析采样器和零阶保持器的影响。

解：

如果没有采样器和零阶保持器，则成为连续系统，闭环传递函数为：
$$\Phi (s)=\frac{1}{s^2+s+1}$$
该系统阻尼比$\zeta =0.5$，自然频率${\omega }_n=1$，其单位阶跃响应为：
$$\begin{array}{rl}c(t)& =1-\frac{1}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\sin ({\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}t+\arccos \zeta )\\ & =1-1.154e^{-0.5t}\sin (0.866t+60°)\end{array}$$
如果只有采样器没有零阶保持器，则系统的开环脉冲传递函数为：
$$G(z)=Z\left[\frac{1}{s(s+1)}\right]=\frac{0.181z}{(z-1)(z-0.819)}$$
相应的闭环脉冲传递函数为：
$$\Phi (z)=\frac{G(z)}{1+G(z)}=\frac{0.181z}{z^2-1.638z+0.819}$$
仿真曲线如下图所示：

采样器和保持器对离散系统的动态性能有如下影响：

• 采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但使超调量增大，采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度；
• 零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长，超调量有所增加，零阶保持器的相角滞后降低了系统的稳定程度；