n为整数，如何判断n(n-1)/2的奇偶性
在判断n(n-1)/2时我们先来假定一个任意整数k，那么此时，2k一定是偶数，2k+1一定是奇数
接下来开始判断n(n-1)/2的奇偶性，我们先来对分子的奇偶性进行分情况讨论：
一. 当分子的n为偶数，n-1为奇数时：
因为此时(n-1)为奇数，(n-1)/2不为整数，n/2却有两种情况，（例如n=8时，n/2为偶数，当n=14时，n/2却是奇数），所以此时继续分两种情况来讨论
①当n/2为奇数时
n/2=2k+1 → 解得n=4k+2
把n=4k+2代入到n(n-1)/2中，解得n(n-1)/2=(2k+1)(4k+1)
此时2k+1一定为奇数、4k+1一定为奇数，因为奇数和奇数的乘积一定为奇数
所以当n=4k+2时：n(n-1)/2为奇数
②当n/2为偶数时
n/2=2k → 解得n=4k
同理，把n=4k代入到n(n-1)/2中，解得n(n-1)/2=2k(4k-1)
此时2k一定为偶数、4k-1一定为奇数，奇数和偶数的乘积一定为偶数
所以当n=4k时：n(n-1)/2为偶数
二. 当分子的n为奇数，n-1为偶数时：
此时n为奇数，n/2不为整数，(n-1)/2却有两种情况，（例如n-1=8时，(n-1)/2为偶数，当(n-1)=14时，(n-1)/2却是奇数），所以此时仍然要分两种情况来讨论
①当(n-1)/2为奇数时
(n-1)/2=2k+1 → 解得n=4k+3
把n=4k+3代入到n(n-1)/2中，解得n(n-1)/2=(2k+1)(4k+3)
此时2k+1一定为奇数、4k+3一定为奇数，因为奇数和奇数的乘积一定为奇数
所以当n=4k+3时：n(n-1)/2为奇数
②当(n-1)/2为偶数时
(n-1)/2=2k → 解得n=4k+1
同理，把n=4k+1代入到n(n-1)/2中，解得n(n-1)/2=2k(4k+1)
此时2k一定为偶数、4k+1一定为奇数，奇数和偶数的乘积一定为偶数
所以当n=4k+1时：n(n-1)/2为偶数
综上所述：
当n=4k时，n(n-1)/2为偶数
当n=4k+1时，n(n-1)/2为偶数
当n=4k+2时，n(n-1)/2为奇数
当n=4k+3时，n(n-1)/2为奇数
以上便是当n为整数时，n(n-1)/2奇偶性的判断过程。