如何理解双线性变换离散连续系统出现频率畸变

频率畸变

对于s平面左半平面复数域共轭极点中的一个：
$$Im(s)=jw$$
那么它在时域中的频率也为$w$，可以用二阶时域响应来理解。
对于z平面单位圆内的共轭极点中的一个：
$$z=e^{jwT}$$
那么它在时域中的频率可以根据下面分析得到：
设：
在$$\begin{gathered} z_i=|z_i|e^{j{\theta }_i} \\ {\bar{z}}_i=|z_i|e^{-j{\theta }_i} \end{gathered}$$
对应的暂态分量为：
$$\begin{gathered} y_{i{z}_i}(k)=A_i{z}_i^k \\ {\bar{y}}_{i{z}_i}(k)={\bar{A}}_i{\bar{z}}_i^k \end{gathered}$$
并且：
$$\begin{gathered} A_i=|A_i|e^{j{\theta }_{A_i}} \\ {\bar{A}}_i=|A_i|e^{-j{\theta }_{A_i}} \end{gathered}$$
那么暂态量为：
$$y_i(k)=2|A_i||z_i{|}^{k}cos(k{\theta }_i+{\theta }_{A_i})$$
系统复极点的相角${\theta }_i$决定了复极点的暂态响应分量在其每个振荡周期内的采样次数，其关系为：
$$N_i=2\pi /{\theta }_i$$
那么离散时域上的周期为：
$$T_i=N_{i}T=\frac{2\pi }{{\theta }_i}T$$
频率为:
$$w_i=\frac{{\theta }_i}{T}$$

将${\theta }_i=wT$代入知离散频率为$w$。
我们知道评价一个离散化方法好不好有一个方面就是看离散前后工作频率变化是否不大，在Tustin变换下：
$$s=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}$$
假如连续域上控制器有一对复数极点，其虚部为$j{w}_0$，我们想知道z域里面哪对复极点在这种变换下对应s域的这个极点，并且我们想得到z域里极点的形式为$e^{jwT}$形式，这样可以直接看出其频率。因此，我们不妨先假设z域对应极点为$z=e^{j{w}_{1}T}$，于是得到：
$$j{w}_0=\frac{2}{T}\frac{e^{j{w}_{1}T}-1}{e^{j{w}_{1}T}+1}=j\frac{2}{T}tan\frac{w_{1}T}{2}$$
于是解得：
$$w_1=\frac{2}{T}arctan\frac{w_{0}T}{2}$$
这个式子是这个意思：在连续域工作频率为$w_0$的控制器经过Tustin变换离散后在离散域的工作频率为$\frac{2}{T}arctan\frac{w_{0}T}{2}$。

分析图像：

很明显频率畸变，什么叫频率不畸变呢？当连续域的$w_0$经过变换到z域后对应$e^{j{w}_{0}T}$，频率就不畸变。

总结